τελευταία 023: γεωμετρικός τόπος σημείου κύκλου

[parmenides51]

Συγκεντρώνονται εδώ

Η σωστή εκφώνηση βρίσκεται στο Υ.Γ.2 με τον ένα κύκλο να έχει διπλάσια ακτίνα του άλλου.

Δίνεται κύκλος . Άλλος κύκλος με κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου.

last 023.png (42.02 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

Υ.Γ.1. Είναι άλυτη στο βιβλίο , η πηγή θα δοθεί μετά την λύση
Υ.Γ.2 Η ακριβής διατύπωση ήταν

Δίνεται κύκλος με ακτίνα . Άλλος κύκλος με ακτίνα κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να δειχθεί οτι ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου είναι μια διάμετρος του μεγάλου κύκλου.

last 023_.png (33.74 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

αλλά το geogebra διαψεύδει το ζητούμενο , γι' αυτό και το άλλαξα.

edit
προστέθηκαν τα κόκκινα γράμματα και το σχήμα στο Υ.Γ.2

[rek2]

Υ.Γ.2 Η ακριβής διατύπωση ήταν

Δίνεται κύκλος με ακτίνα . Άλλος κύκλος με ακτίνα κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου είναι μια διάμετρος του μεγάλου κύκλου.

Έστω ο κύκλος ακτίνας που εφάπτεται στον κύκλο ακτίνας στο σημείο , και, έστω τυχαίο σημείο του κείμενο επί της διαμέτρου . Θα δείξουμε ότι, όταν ο κύκλος κυλίεται εφαπτόμενος στον κύκλο , τότε το γράφει την .

Προς τούτο, ας κυλιστεί ο κύκλος προς τα δεξιά κατά τυχαίo τόξο του που έχει αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία , και έστω ότι στην νέα του θέση εφάπτεται του κύκλου στο . Τώρα, ας τμήσουν η τον κύκλο στο , η τον κύκλο στο και η τον κύκλο στο . Δείχνουμε ότι τα συμπίπτουν. Πράγματι, αν , τότε επειδή τα μήκη των τόξων είναι, προφανώς ίσα και επειδή

και . (τύπος: ),

προκύπτει α=α' και άρα .


Τώρα τα τόξα είναι ίσα γιατί ανήκουν σε ίσους κύκλους και έχουν ίδιο μήκος (εύκολο), -όσο και το τόξο -. Ακόμα τα τόξα είναι ίσα, αφού ανήκουν σε ίσους κύκλους και έχουν αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία την β. Έτσι,φανερά, και τα τόξα είναι ίσα. Αυτά σημαίνουν ότι τα σημεία θα βρεθούν στις θέσεις , αντιστοίχως, συνεπώς το κινείται επί της .

Αντιστρόφως, έστω τυχαίο σημείο της . Γράφουμε έναν κύκλο που διέρχεται από τα και εφάπτεται του κύκλου .(υπάρχουν δύο τέτοιοι). Έστω το σημείο επαφής και έστω τα σημεία που αυτός τέμνει τις , αντιστοίχως. Εργαζόμενοι με ανάλογο τρόπο με τα δείχνουμε ότι τα , συμπίπτουν, συνεπώς το είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Επομένως η είναι ο ζητούμενος γ.τ.

[rek2]

Συγκεντρώνονται εδώ


Δίνεται κύκλος . Άλλος κύκλος με κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου.

Parm, επιμένεις να βρεθεί αυτός ο γ.τ.;!...

[parmenides51]

Συγκεντρώνονται εδώ


Δίνεται κύκλος . Άλλος κύκλος με κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου.

Parm, επιμένεις να βρεθεί αυτός ο γ.τ.;!...

last 023.png (42.02 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

δεν μπορώ να καταλάβω τι λάθος κάνω στο geogebra και μου βγάζει κύκλο
έχω βάλει να κινείται το σημείο του κύκλου , πάνω στον κύκλο
και σαν κινείται το κινείται ο κύκλος που έχει σταθερή ακτίνα κι εφάπτεται του κύκλου
και το σημείο του κύκλου φαίνεται να σχηματίζει κύκλο, δεν βγαίνει ευθύγραμμο τμήμα

η σωστή άσκηση από το ΥΓ λύθηκε, οπότε μας αρκεί, το λάθος μου ψάχνω στο λογισμικό

[rek2]

Parm, ο ζητούμενος γ.τ. των Μ, έτσι όπως το θέτεις στην αρχή του πρώτου σου μηνύματος, δεν είναι κωνική. Βγαίνει περίεργη καμπύλη, γιαυτό ρωτάω αν επιμένεις!

Στο σχήμα που ανέβασες το σίγουρο είναι ότι η geogebra δεν κάνει κύλιση. Φαίνεται κι από την καθυστέρηση του Μ να φτάσει στον εξωτερικό κύκλο. Τώρα, τι κάνει δεν ξέρω!

[KDORTSI]

Δίνεται κύκλος . Άλλος κύκλος με κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς
εφαπτόμενος σε αυτόν. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου.

Γενικά το πρόβλημα οδηγεί σε γ. τόπους πέραν του σχολικού προγράμματος εκτός από την περίπτωση

την οποία μελέτησε ο rek2.

Μετά τον προβληματισμό του καλού μας φίλου Παρμενίδη ο οποίος προσφέρει τα μέγιστα στο φόρουμ αυτό παραθέτω μερικά σχήματα
στατικά καθώς και δυναμικά με σχόλια και οδηγίες που φωτίζουν θαρρώ το πρόβλημα.

Επιτροχοειδής 1.PNG (30.99 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Επιτροχοειδής 1.ggb

(9.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 34 φορές

Το ανωτέρω σχήμα όπως θα δείτε και στη δυναμική του μορφή παριστά το γ.τ. ενός σημείου του μικρού κύκλου
ο οποίος κυλίεται εσωτερικά στον μεγάλο. Το στιγμιότυπο απεικονίζει την περίπτωση όπου και .
Στο δυναμικό σχήμα μπορείτε να δείτε πλειάδα αλλων περιπτώσεων.

Επιτροχοειδής 2.PNG (24.47 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Στο ανωτέρω στιγμιότυπο βλέπει κανείς την περίπτωση όπου και η οποία είναι η περίπτωση που αφορά στη σχολική ύλη και
μελετήθηκε από τον rek2.

Επιτροχοειδής 3.PNG (40.82 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Επιτροχοειδής 2.ggb

(8.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 28 φορές

Το τρίτο στιγμιότυπο αφορά τη γενική περίπτωση του γ.τ. ενός σημείου που βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη ακτίνα του
κυλιόμενου δίσκου.

Κώστας Δόρτσιος

[parmenides51]

αφού ευχαριστήσω τον Δάσκαλο Κώστα Δόρτσιο για τις όμορφες εικόνες που μας σχεδίασε
(πιστεύω πως αν μελετήσω αρκετά τα αρχεία geogebra του θα πάρω την απάντηση μου)
ας δώσω την πηγή

η άσκηση είναι η 130 (τελευταία στο 3ο κεφάλαιο, σελ. 54) από το βιβλίο του Κ.Σ. Ευμορφόπουλου
Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής, Μαθηματικός Συλλογισμός, Γεωμετρικοί Τόποι, Γεωμετρικές Κατασκευές
έχει 72 σελίδες κι εκδόθηκε στην Θεσσαλονίκη, εκδόσεις κι έτος δεν αναφέρονται κάπου
έχει 4 κεφάλαια, ένα ανά θεματική του τίτλου του, περιέχει θεωρία, λυμένες κι άλυτες