Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

tsalikdimd · #1

Συνάδελφοι
Καθηγητής σε σχολείο έδωσε την παρακάτω άσκηση
Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το A(1,3)

και απέχει μέγιστη απόσταση από το B(2,4)

.Δώστε μου τα φώτα σας. Για κατεύθυνση Β΄Λυκείου

#2

tsalikdimd έγραψε:Συνάδελφοι
Καθηγητής σε σχολείο έδωσε την παρακάτω άσκηση
Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το και απέχει μέγιστη απόσταση από το .Δώστε μου τα φώτα σας. Για κατεύθυνση Β΄Λυκείου

Καλημέρα

Η ευθεία πρέπει να είναι κάθετη στην

, γιατί τότε θα είναι εφαπτομένη του κύκλου (B, BA)

, ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση η ευθεία θα τέμνει τον κύκλο και θα απέχει από το

μικρότερη απόσταση από την ακτίνα. Η μέγιστη αυτή απόσταση είναι $\displaystyle{\sqrt 2 }$ .

tsalikdimd · #3

Το ζητούμενο όμως είναι να βρούμε την εξίσωση της ευθείας χωρίς να χρησιμοποιήσουμε παρακάτω θεωρία από τον κύκλο

#4

....Χωρίς την θεωρία του κύκλου....

Θεωρώντας οπουδήποτε ευθεία που περνάει από το σημείο A(1,3)

που δεν είναι κάθετη στην

έστω $(\varepsilon )$ η απόσταση του $B(2,\,4)$

θα είναι $BK\bot (\varepsilon )$ που θα είναι πάντα μικρότερη της

αφού η

θα είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABK

Άρα από αυτό συμπεραίνουμε ότι η ευθεία που απέχει μέγιστη απόσταση από το $B(2,\,4)$ και περνάει από το A(1,3)

είναι η κάθετη στην

που εύκολα προσδιορίζεται και είναι η y=-x+4

παραθέτω και ένα σχήμα....

: MEGISTH APOSTASH.jpg (17.57 KiB) Προβλήθηκε 1631 φορές

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#5

Η ευθεία η κάθετη από το

στην

είναι: $\displaystyle{\varepsilon :y = - x + 4}$ και απέχει από το

απόσταση $\displaystyle{\sqrt 2 }$ .

Η ευθεία x=1

, απέχει απόσταση

\displaystyle{<} $\displaystyle{\sqrt 2 }$

Κάθε άλλη ευθεία $\displaystyle{\delta :\lambda x - y + 3 - \lambda = 0}$ , που διέρχεται από το

απέχει από το

απόσταση:

$\displaystyle{d(B,\delta ) = \frac{{\left| {\lambda - 1} \right|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow {(\lambda - 1)^2} \le 2{\lambda ^2} + 2 \Leftrightarrow ...{(\lambda + 1)^2} \ge 0}$ .

Άρα η $(\epsilon)$ είναι η ζητούμενη ευθεία.

Γράφαμε μαζί με το Βασίλη και δεν ήξερα ότι είχε ήδη απαντήσει.

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #6

εδώ έχει ξανασυζητηθεί με άλλους αριθμούς. Με το σχήμα του βασίλη είναι πιο κατανοητή η λύση

parmenides51 · #7

εδώ κι εδώ

σαν θέμα 38 εδώ κι εδώ (κρυμμένο στο ερώτημα δ)

Γιώργος Απόκης · #8

Μια άλλη προσέγγιση.

Η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ έχει απόσταση $\displaystyle{1}$ . Aν $\displaystyle{(\epsilon):y-3=a(x-1)\Leftrightarrow ax-y-a+3=0}$

είναι μια μη κατακόρυφη που διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ , τότε έχουμε:

$\displaystyle{d(B,\epsilon)=\frac{|2a-4-a+3|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{(a-1)^2}{a^2+1}}=\sqrt{\frac{a^2+1-2a}{a^2+1}}=\sqrt{1+\frac{-2a}{a^2+1}}}$ .

Άρα η απόσταση γίνεται μέγιστη όταν το κλάσμα $\displaystyle{\frac{-2a}{a^2+1}}$ πάρει τη μέγιστη τιμή του.

Iσχύει $\displaystyle{a^2+2a+1\geq 0\Leftrightarrow -2a\leq a^2+1\Leftrightarrow \frac{-2a}{a^2+1}\leq 1}$ άρα η μέγιστη τιμή του κλάσματος είναι το $\displaystyle{1}$

που προκύπτει για $\displaystyle{a=-1}$ και τότε η απόσταση είναι $\displaystyle{\sqrt{2}>1}$ (μέγιστη).

tsalikdimd · #9

Το ευχαριστώ είναι λίγο Καλό απόγευμα

Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Re: Μέγιστη απόσταση ευθείας από σημείο

Μέλη σε σύνδεση