45 και 60

#1

Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο με γωνίες 45 και 60 μοιρών και ακέραιες πλευρές.

Μαυρογιάννης

#2

Έστω τρίγωνο ABC

με $\angle A=45^o$ και $\angle B=60^o$ .

Είναι

$\displaystyle{\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}}$ ,

οπότε

$\displaystyle{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b}}$ ,

κι έτσι

$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{2}{3}}$ που είναι άρρητος.

Άρα τουλάχιστον ένας από τους a, b

είναι άρρητος.

Συνεπώς, δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές.

Φιλικά,

Αχιλλέας

papel · #3

Εφαρμοζοντας δυο φορες τον νομο των συνημιτονων καταληγω σε :

γ^2=α^2+β^2-αβ
β^2=α^2+γ^2-(ριζα(2))αγ=0

Απο τις δυο σχεσεις σε : 2α-β+ριζα(2)*γ=0 η β=2α+ριζα(2)*γ αλλα β ακεραιος.

A.Spyridakis · #4

papel έγραψε:Εφαρμοζοντας δυο φορες τον νομο των συνημιτονων καταληγω σε :

γ^2=α^2+β^2-αβ
β^2=α^2+γ^2-(ριζα(2))αγ=0

Απο τις δυο σχεσεις σε : 2α-β+ριζα(2)*γ=0 η β=2α+ριζα(2)*γ αλλα β ακεραιος.

Γιατί δύο φορές? Νομίζω πως μία είναι αρκετή (εδώ, αρχίζοντας με την πλευρά που είναι απέναντι από τις 45ο). Κλέβοντας λίγο από την ιδέα σου, να πω ότι αν μία γωνία έχει άρρητο συνημίτονο (30, 45 κτλ), τότε (από το Ν. Συνημιτόνων) αποκλείεται οι πλευρές να είναι ακέραιοι.

#5

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Σχετικά με το θέμα ενδιαφέροντα πράγματα γράφτηκαν και στο viewtopic.php?f=50&t=3714. Η λύση που είχα στο μυαλό μου ήταν του Αντώνη (A.Spyridakis). Ωστόσο η παράθεση στην τάξη πολλών λύσεων για το ίδιο θέμα πέρααπό το ότι αρέσει στα παιδιά έχει και το πλεονέκτημα ότι βελτιώνει την τεχνική τους κατάρτιση και διευρύνει την μαθηματική ορατότητα. 'Αλλη μία πρόσέγγιση (όχι κομψότερη αλλά με λιγότερη τριγωνομετρία) είναι η εξής:

: tr.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

"Συμπληρώνουμε" το τρίγωνο ώστε να δημιουργηθεί το ισοσκελές ΑΒΔ και το ορθογώνιο ΑΒΕ. Αν τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓ είναι ακέραιοι το αυτό ισχύει και για τα μήκη ΒΕ, ΒΔ, ΔΕ. Το άτοπο προκύπτει από το απότο θεώρημα των διχοτόμων που μας δίνει ότι το μήκος ΑΕ είναι ρητός και την σχέση $\rm AE=BE\frac{\sqrt{3}}{2}$ που μας λέει ότι το ίδιο μήκος είναι άρρητος.
Μαυρογιάννης

p_gianno · #6

Έστω ότι α,β,γ τα μήκη των πλευρών του τριγΑΒΓ με α,β,γ ακέραιους .
Αν ΑΔ ύψος του ΒΑΓ τότε ΒΑΔ ορθογώνιο ισοσκελές και γωνΓΑΔ=30.
Α)Υποθέτουμε επιπλέον ότι β άρτιος. Τότε

$\displaystyle{ \begin{array}{l} y = \Delta \Gamma = \frac{\beta }{2}\,\,\,\, \in \,\,{\rm Z}\,\,\,\,o\mu \omega \varsigma \\ (\,y\, \in \,\,{\rm Z}\,\,,\alpha \in \,\,{\rm Z}\,) \to {\rm B}\Delta = \chi \,\, \in \,\,{\rm Z}\,\,\,(1) \\ \tau \rho \iota \gamma {\rm A}{\rm B}\Delta :\,\,\,\chi ^2 + \chi ^2 = \gamma ^2 \to 2\chi ^2 = \gamma ^2 \to \sqrt 2 \chi = \gamma \to \alpha \rho \rho \eta \tau o\varsigma = \rho \eta \tau o\varsigma \\ \end{array} }$
που είναι άτοπο
Β) Αν υποθέσουμε πως υπάρχει τρίγωνο με ακέραια μήκη πλευρών και β περιττό φυσικό τότε θα έχει ακέραια μήκη πλευρών και το όμοιο προς το ΑΒΓ τρίγωνο με διπλάσιες πλευρές ,
πράγμα άτοπο λόγω του Α.

: 45-60 triangle.png (5.32 KiB) Προβλήθηκε 990 φορές

45 και 60

45 και 60

Re: 45 και 60

Re: 45 και 60

Re: 45 και 60

Re: 45 και 60

Re: 45 και 60

Μέλη σε σύνδεση