Συναρτησιακή εξίσωση (λδ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 3^x(f(x+1)-f(x))=1, }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

chris · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 3^x(f(x+1)-f(x))=1, }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Η αρχική είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle \boxed{f(x+1)=f(x)+3^{-x}}:(1)$

Αφού η

είναι γνήσια αύξουσα υπάρχει το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ και είναι είτε πεπερασμένο είτε $+\infty$ .
Από την (1)

εύκολα παίρνουμε:
$\displaystyle f(x+1)=f(x)+3^{-x}$
$\displaystyle f(x+2)=f(x+1)+\frac{1}{3}\cdot 3^{-x}$
$\displaystyle f(x+3)=f(x+2)+\frac{1}{3^2}\cdot 3^{-x}$
....
$\displaystyle f(x+n)=f(x+n-1)+\frac{1}{3^{n-1}}\cdot 3^{-x}$

Και συνεπώς:
$\displaystyle f(x+n)=f(x)+3^{-x}\cdot \sum_{k=1}^{n}{3^{1-k}}=f(x)+3^{-x}\cdot \frac{3-3^{1-n}}{2} : (*)$
Σταθεροποιώντας το

και παίρνοντας όριο $n \rightarrow +\infty$ το αριστερό μέλος της παραπάνω είναι το όριο της

στο $+\infty$ ενώ το δεξί είναι: $\displaystyle f(x)+\frac{3}{2}\cdot 3^{-x}$ και άρα το όριο στο $+\infty$ είναι πραγματικός αριθμός. Όμως αφού το όριο είναι ανεξάρτητο του

θα πρέπει: $\displaystyle \boxed{f(x)=c-\frac{3}{2}\cdot 3^{-x}}$ συνάρτηση που ικανοποιεί την αρχική και είναι γνησίως αύξουσα. Όπου

πραγματική σταθερά.

(στην (*)

θα μπορούσαμε να δώσουμε συγκεκριμένη τιμή στο

και έπειτα να πάρουμε όριο και τότε θα βλέπαμε πως ανάλογα με την τιμή που θα δίναμε θα βγάζαμε διαφορετικό αποτέλεσμα)

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=233159

Συναρτησιακή εξίσωση (λδ)

Συναρτησιακή εξίσωση (λδ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λδ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λδ)

Μέλη σε σύνδεση