Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Επί της διαμέτρου AB=d

ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο

, ώστε

και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα

. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

, τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα BS=x

.

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο , ώστε και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Καλησπέρα και Καλή Σαρακοστή.

: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

● Έστω $\displaystyle{t < \frac{d}{2}}$
Από δύναμη του σημείου

έχουμε:

$\displaystyle{S{P^2} = SB \cdot SA = x(x + d) \Leftrightarrow }$ $\boxed{S{P^2} = {x^2} + dx}$ (1)

Από Π.Θ στο PTS

: $\displaystyle{S{P^2} = T{S^2} + P{T^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{S{P^2} = {(t + x)^2} + P{T^2}}$ (2)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PAB

με ύψος

: $\displaystyle{P{T^2} = AT \cdot TB \Leftrightarrow }$ $\boxed{P{T^2} = t(d - t)}$ (3)

Από

παίρνουμε:

$\displaystyle{{x^2} + dx = {t^2} + 2tx + {x^2} + td - {t^2} \Leftrightarrow (d - 2t)x = td \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{td}}{{d - 2t}}}$

● Αν $\displaystyle{t = \frac{d}{2}}$ το πρόβλημα δεν έχει λύση γιατί η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη διάμετρο.

● Αν $\displaystyle{t > \frac{d}{2}}$ , τότε η εφαπτομένη τέμνει την προέκταση της διαμέτρου προς το μέρος του

και είναι

$\boxed{x = \frac{{td}}{{2t - d}}}$

parmenides51 · #3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο , ώστε και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 1192 φορές

Από Θ. Τεμνουσών $\displaystyle{PS^2=PA\cdot PB= x(x+d)}$
από Πυθ. Θεωρημα $\displaystyle{PS^2=ST^2+PT^2=(x+t)^2+PT^2}$
από μετρικές σχέσεις ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{PT^2=TA \cdot TB=t(d-t)}$
συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις έχουμε :
$\displaystyle{t(d-t)+(x+t)^2= x(x+d) \Leftrightarrow td-t^2+x^2+2xt+t^2=x^2+dx \Leftrightarrow td=x(d-2t) \Leftrightarrow x=\frac{dt}{d-2t}}$

Υ.Γ. το αφήνω για τον κόπο, δεν πέρασε από το μυαλό μου η διερεύνηση

#4

KARKAR έγραψε:Επί της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο , ώστε και υψώνουμε το κάθετο τμήμα . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Προφανώς η ευθεία είναι η πολική του ως προς τον κύκλο άρα η τετράδα $\left( {B,A,T,S} \right)$ είναι αρμονική (αν $t < \dfrac{d}{2}$ ) οπότε: $\ldots x = \dfrac{{td}}{{d - 2t}}$ ή

η τετράδα $\left( {A,B,T,S} \right)$ είναι αρμονική (αν $t > \dfrac{d}{2}$ ) οπότε: $\ldots x = \dfrac{{td}}{{2t - d}}$ και προφανώς το είναι το επ' άπειρον σημείο αν $t = \dfrac{d}{2}$ οπότε $x \to \infty$ .

Στάθης

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , παίρνουμε σημείο , ώστε και υψώνουμε

το κάθετο τμήμα . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο , τέμνει την προέκταση της διαμέτρου

στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

: Εφαπτομένη σε ημικύκλιο.png (35.32 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

Επειδή $\widehat \theta = \widehat {A\,}$ ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και $\widehat \phi = \widehat {A\,}$ ( κάθετες πλευρές) θα έχουμε

$\boxed{\widehat \theta = \widehat {\phi \,}}$ . Άρα η

εφάπτεται και του κύκλου (B,t)

, έστω στο σημείο

. Ας είναι $b = 2R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R > t$ ( Όπως το

θέλει ο KARKAR

) . Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $POS\,\kappa \alpha \iota \,DBS$ θα έχουμε :

$\dfrac{{SB}}{{SO}} = \dfrac{{BD}}{{OP}} \Rightarrow xR = (x + R)t \Rightarrow x = \dfrac{{Rt}}{{R - t}} \Rightarrow x = \dfrac{{2Rt}}{{2R - 2t}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{bt}}{{b - 2t}}}$ .

Φιλικά Νίκος

Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Re: Εφαπτομένη και προέκταση διαμέτρου

Μέλη σε σύνδεση