Γεωμετρικός μετασχηματισμός

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ έτσι ώστε αν A,B

διαφορετικά σημεία του χώρου τότε οι ευθείες

και

να είναι κάθετες μεταξύ τους.

Alex1994 · #2

Άμα αντικαταστήσουμε $f(x) \rightarrow f(x)+C$ η συνθήκη δεν αλλάζει, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας f(0)=0

. Τότε, επιλέγοντας b=0

έχουμε $a \cdot f(a)=0$ .
Άρα, έχουμε $(a-b) \cdot (f(a)-f(b))=0 \rightarrow a \cdot f(b)= -b \cdot f(a)$ .

Επιλέγουμε μια βάση e_1, e_2, e_3

, και θέτουμε x= ae_1+be_2+ce_3

. Τότε, η παραπάνω εξίσωση δίνει $e_1 \cdot f(x)= -(ae_1 \cdot f(e_1) + be_2\cdot f(e_1)+ce_3\cdot f(e_1))$ . Ομοίως για e_2, e_3

. Επειδή $f(x)= (f(x) \cdot e_1) e_1 + (f(x) \cdot e_2)e_2+ (f(x) \cdot e_3)e_3$ , από την παραπάνω εξίσωση βλέπουμε ότι η συνάρτηση

είναι γραμμικός μετασχηματισμός (με πίνακα με στοιχεία $e_i \cdot f(e_j)$ ).

Επειδή η

είναι 1-1 και επί, $f(x) \neq 0$ για κάθε $x \neq 0$ , και επίσης $f(x) \cdot x=0$ ,

συνεχής.
Άρα, η

δημιουργεί ένα εφαπτόμενο διανυσματικό πεδίο στην μοναδιαία σφαίρα που δεν μηδενίζεται πουθενά, άτοπο σύμφωνα με το Hairy Ball Theorem.

Γενικά, τέτοια

δεν υπάρχει σε χώρους περιττών διαστάσεων, αλλά υπάρχει σε χώρους αρτίων διαστάσεων (symplectic matrix).

#3

Σωστά μόνο που δεν χρειάζεται το hairy ball. Η

είναι όχι μόνο συνεχής αλλά και γραμμική οπότε τα πράγματα είναι πιο εύκολα.

Έχει ουσιαστικά δειχθεί ότι υπάρχουν a,b,c

ώστε ο πίνακας της

με βάση τα e_1,e_2,e_3

είναι

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{pmatrix} }$

Τότε όμως έχουμε f(ae_1 + be_2 + ce_3) = 0

άτοπο. (Αφού η

είναι 1-1.)

[Διαφορετικά: Ο πίνακας

είναι αντισυμμετρικός $3 \times 3$ οπότε $\det(A) = \det(-A^T) = -\det(A^T) = -\det(A)$ . Άρα $\det(A) = 0$ και άρα ο

έχει μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή

, άτοπο.]

Την άσκηση την πήρα από το Putnam & Beyond αλλά δεν τώρα βρίσκομαι εξωτερικό και δεν το έχω μαζί μου για να βρω ποια ήταν.

Alex1994 · #4

Όντως είναι overkill το hairy ball, αλλά πλάκα είχε οπότε είπα να το αφήσω

(το κλασσικό αντιπαράδειγμα για το hairy ball σε χώρους αρτίων διαστάσεων βασίζεται σε symplectic matrices, οπότε...)

Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Re: Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Re: Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Re: Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Μέλη σε σύνδεση