Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής. Ας δειχθεί ότι υπάρχουν A,B>0

τέθοιοι ώστε $|f(x)|\leq A|x|+B$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

#2

Mια απάντηση απο το σχολείο...
Αφού η f είναι ομοιόμορφα συνεχής στο R , τότε για κάθε χ1, χ2 στο R, αληθεύει |f(x1)-f(x2)|<=|x1-x2|.
Για χ1=χ και χ2=0, έχουμε:
|f(x)-f(0)|<=|x| (1).
'Ομως:
|f(x)|-|f(0)|<=|f(x)-f(0)|.
Aρα λόγω της (1), δίνει:
|f(x)|<=|x|+|f(0)|.
Aρα για Α=1 και Β=|f(0)|, έχουμε το ζητούμενο...

#3

chris_gatos έγραψε:Mια απάντηση απο το σχολείο...
Αφού η f είναι ομοιόμορφα συνεχής στο R , τότε για κάθε χ1, χ2 στο R, αληθεύει |f(x1)-f(x2)|<=|x1-x2|.

Γιατί;

Η συνθήκη Lipschitz μας δίνει ομοιόμορφη συνέχεια, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Ορθώς, στοιχειώδες το λάθος μου!

Dimitris X · #5

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει απλά τι σημαίνει ομοιόμορφη συνέχεια(αν βέβαια μπορεί να γίνει κατανοητή με γνώσεις 3ης λυκείου)???

#6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ομοιόμορφα συνεχής. Ας δειχθεί ότι υπάρχουν τέθοιοι ώστε $|f(x)|\leq A|x|+B$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Εκτενής υπόδειξη: Από τον ορισμό, για ε=1, υπάρχει φυσικός m τέτοιος ώστε είναι αληθής η συνεπαγωγή
( $|x - y| \le \frac{1}{m} \Rightarrow |f(x) - f(y)| < 1$ ).

Άρα για τους αριθμούς της μορφής $\frac{k}{m}$ , όπου k ακέραιος, έχουμε

$|f(\frac{k}{m})| \le |f(0)| + |f(0) -f(\frac{1}{m})|+ |f(\frac{1}{m}) -f(\frac{2}{m} )|+ ... + |f(\frac{k-1}{m}) -f(\frac{k}{m} )| \le |k| + |f(0)| = m|\frac{k}{m}| + |f(0)|$ .

Δηλαδή η ανισότητά μας με Α = m , B = |f(0)|

Για τους υπόλοιπους αριθμούς, βρίσκουμε k με $\frac{k-1}{m} \le x < \frac{k}{m}$ . Επειδή ισχύει $|f(x) - f(\frac{k}{m} ) < 1$ , δηλαδή $|f(x)| < |f(\frac{k}{m} ) |+ 1$ , η παραπάνω ανισότητα μεταφέρεται και στο x με αλλαγή του Α σε Α + 1.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#7

Dimitris X έγραψε:Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει απλά τι σημαίνει ομοιόμορφη συνέχεια(αν βέβαια μπορεί να γίνει κατανοητή με γνώσεις 3ης λυκείου)???

Η ομοιόμορφη συνέχεια είναι μία ισχυρή μορφή της συνέχειας. Η έννοια είναι αρκετά λεπτή, και δεν δείχνει ότι διαφέρει από την γνωστή μορφή συνέχειας. Με λίγα λόγια πάντως: Ως γνωστόν συνέχεια σε ένα σημείο χ(0) σημαίνει ότι για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 (το οποίο εν γένει εξαρτάται από το ε και το χ(0)) τέτοιο ώστε μέσα στο πεδίο ορισμού ισχύει |f(x) - f(x(0)| < ε.

Η ομοιόμορφη συνέχεια, από την άλλη, είναι η περίπτωση που μπορούμε να επιλέξουμε το δ ανεξάρτητο από το χ(0).

Δεν μπαίνω σε άλλες λεπτομέρειες γιατί η διαφορά των δύο είναι μεν λεπτή, αλλά ουσιαστική. Ο ορισμός και η σχετική θεωρία υπάρχουν σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης. Διδάσκονται συνήθως στους Μαθηματικούς από το δεύτερο εξάμηνο και μετά, στο Πανεπιστήμιο.

Καλο διάβασμα.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Antonis Loutraris · #8

Να συμπληρώσω στην όμορφη απόδειξη του κ.Λάμπρου ότι η αποδεικτέα πρόταση γεωμετρικά λέει ό τι μία ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση δεν μπορεί να ''τείνει'' στο άπειρο πιο γρήγορα απο τη γραμμική συνάρτηση.

Φιλικά,

Αντώνης.

#9

Με εντελώς αντίστοιχο σκεπτικό με του Μιχάλη:

Για $\varepsilon=1$ , από τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας, βρίσκουμε $\delta>0$ με

$|x-y|<2\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ .

Έστω τώρα $x\in\mathbb{R}$ . Για κάποιο $n\in\mathbb{N}$ είναι $n\delta\leq |x|<(n+1)\delta$ .

Τότε θα είναι

$|f(x)|\leq|f(x)-f(n\delta)|+|f(n\delta)-f((n-1)\delta)|+\cdots+|f(\delta)-f(0)|+|f(0)|<$

$n+(1+|f(0)|)\leq\displaystyle\frac{1}{\delta}|x|+(1+f(0)|):=A|x|+B$ .

tsoukas · #10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Με εντελώς αντίστοιχο σκεπτικό με του Μιχάλη:

Για $\varepsilon=1$ , από τον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας, βρίσκουμε $\delta>0$ με

$|x-y|<2\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ .

Έστω τώρα $x\in\mathbb{R}$ . Για κάποιο $n\in\mathbb{N}$ είναι $n\delta\leq |x|<(n+1)\delta$ .

Τότε θα είναι

$|f(x)|\leq|f(x)-f(n\delta)|+|f(n\delta)-f((n-1)\delta)|+\cdots+|f(\delta)-f(0)|+|f(0)|<$

$n+(1+|f(0)|)\leq\displaystyle\frac{1}{\delta}|x|+(1+f(0)|):=A|x|+B$ .

Έχω μια απορία πάνω στη λύση σου φίλε μου. Γιατί έχεις βάλει |x-y|<2δ και όχι |x-y|<δ????

#11

Dimitris X έγραψε:Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει απλά τι σημαίνει ομοιόμορφη συνέχεια(αν βέβαια μπορεί να γίνει κατανοητή με γνώσεις 3ης λυκείου)???

ρίξε μια ματιά στο συνημμένο

Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Re: Θεωρητική με χαριτωμένη γεωμετρική ερμηνεία

Μέλη σε σύνδεση