Παρόμοιος… βαθμός

Θεοδωρος Παγωνης · #1

Δίνονται πολυώνυμα $\displaystyle{P(x)}$ , $\displaystyle{Q(x)}$ με ακέραιους συντελεστές για τα οποία ισχύει $\displaystyle{P(a)=a=-P(-a)}$ , $\displaystyle{P(0)\ne 0}$ και $\displaystyle{Q(x)=P\left( P(x) \right)+P(x)}$ , για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ .
Να δείξετε ότι $\displaystyle{\beta \alpha \theta \mu \left[ Q(x) \right]\ge 1}$ .

Υ.Γ. Έγινε επαναφορά διότι ήταν σε λάθος φάκελο.

ChrisVlachos · #2

Αν $\alpha =0$ τότε $P\left( 0 \right)=0$ άτοπο, άρα $\alpha \ne 0$
Έστω οτι το $Q\left( x \right)$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Τότε $Q\left( x \right)=0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Για $x=\alpha$ θα είναι : $Q\left( \alpha \right)=P\left( P\left( \alpha \right) \right)+P\left( \alpha \right)=P\left( \alpha \right)+\alpha =\alpha +\alpha =2\alpha \ne 0$ , άτοπο, άρα το $Q\left( x \right)$ δεν είναι το μηδενικό
Έστω ότι το $Q\left( x \right)$ είναι σταθερό πολυώνυμο. Τότε $Q\left( x \right)=c$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
Για $x=\alpha$ θα είναι : $Q\left( \alpha \right)=c\Leftrightarrow 2\alpha =c$
Για $x=-\alpha$ θα είναι : $Q\left( -\alpha \right)=P\left( P\left( -\alpha \right) \right)+P\left( -\alpha \right)=P\left( -\alpha \right)-\alpha =-\alpha -\alpha =-2\alpha =c$
Από τα παραπάνω προσθέτωντας κατά μέλη προκύπτει $2c=0\Leftrightarrow c=0$ δηλαδή το $Q\left( x \right)$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο που όπως έχουμε δείξει είναι άτοπο. Άρα ο βαθμός του $Q\left( x \right)$ ορίζεται και δεν είναι 0

Παρόμοιος… βαθμός

Παρόμοιος… βαθμός

Re: Παρόμοιος… βαθμός

Μέλη σε σύνδεση