ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. α) Να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{(2+i\sqrt2)^3+(2-i\sqrt2)^3 +2^3}$ ( $\displaystyle{i=}$ φανταστική μονάδα)

β) Να προσδιορίσετε μια οποιαδήποτε πρόοδο που να περιέχει σαν όρους τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}}$ .

2. Συρμός τίθεται σε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση $\displaystyle{ 1 \,\, m / sec^2}$ σε μήκος $\displaystyle{200}$ μέτρων και συνεχίζει την πορεία του με αμετάβλητη την ταχύτητα που έχει αποκτήσει. Μετά από $\displaystyle{100 '' }$ τίθεται σε κίνηση σε παράλληλη τροχιά, και από την ίδια αφετηρία άλλος συρμός με σταθερή επιτάχυνση $\displaystyle{1,5 \,\, m / sec^2}$ σε μήκος $\displaystyle{x}$ μέτρων , και συνεχίζει την πορεία του ομοίως με αμετάβλητη την την ταχύτητα που έχει αποκτήσει. Οι συρμοί θα διασταυρωθούν σε απόσταση $\displaystyle{ \mu}$ μέτρων από την αφετηρία. Να εκφράσετε τη σχέση μεταξύ $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{ \mu}$ και να προσδιορίσετε το μήκος του $\displaystyle{x}$ για $\displaystyle{\mu = 6.000}$ μέτρα.
(Υπενθυμίζουμε τους τύπους $\displaystyle{V=\beta t}$ και $\displaystyle{S=\frac{1}{2}\beta t^2}$ όπου $\displaystyle{t}$ ο χρόνος, $\displaystyle{\beta}$ η σταθερά επιτάχυνση, $\displaystyle{S}$ το διανυθέν διάστημα και $\displaystyle{V}$ η αποκτηθείσα ταχύτητα)

3. Να αποδείξετε οτι το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} (a-c)z-(b-a)y=3a \\ (b-a)x-(c-b)z=3b \\ (c-b)y-(a-c)x=3c \end{array} \right.$ όπου $\displaystyle{a,b,c}$ όχι όλοι μηδέν,
δεν έχει στους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{ x,y,z}$ άλλη λύση πλην της $\displaystyle{x=y=z=1}$ ,την οποία έχει μόνο εαν $\displaystyle{a+b+c=0}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:1. α) Να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{(2+i\sqrt2)^3+(2-i\sqrt2)^3 +2^3}$ ( $\displaystyle{i=}$ φανταστική μονάδα)

β) Να προσδιορίσετε μια οποιαδήποτε πρόοδο που να περιέχει σαν όρους τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}}$ .

(α) Η παράσταση γράφεται: $\displaystyle{(2+i\sqrt{2}+2-i\sqrt{2})^3 -3(2+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{2})(2+i\sqrt{2}+2-i\sqrt{2})+8=}$

$\displaystyle{4-3.6.4+8=0}$

(β) Ψάχνουμε άν υπάρχει αριθμητική πρόοδος η οποία να έχει ως όρους τους δοσμένους αριθμούς και διαφορά $\displaystyle{w}$

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οπρώτος όρος της προόδου είναι ο $\displaystyle{a_1 =\frac{1}{5}}$ και ότι $\displaystyle{a_k =\frac{1}{4} ,}$

$\displaystyle{a_m =\frac{1}{3} , a_n =\frac{1}{2}}$ , όπου $\displaystyle{k , m , n \in N^{*}-\{1\}}$ και οι $\displaystyle{k,m,n}$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

Τώρα έχουμε:

$\displaystyle{a_k =\frac{1}{4}\Rightarrow a_1 +(k-1)w=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{5} +(k-1)w =\frac{1}{4}\Rightarrow (k-1)w=\frac{1}{20}}$ , (1)

$\displaystyle{a_m =\frac{1}{3}\Rightarrow a_1 +(m-1)w =\frac{1}{3}\Rightarrow (m-1)w=\frac{2}{15}}$ , (2)

Και ομοίως, $\displaystyle{(n-1)w=\frac{3}{10}}$ , (3)

Άπό $\displaystyle{(1):(2)}$ , έχουμε: $\displaystyle{\frac{k-1}{m-1}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow m=\frac{8k-5}{3}}$ , (4)

Από $\displaystyle{(2):(3)}$ (λόγω και της (4)) , έχουμε: $\displaystyle{\frac{m-1}{n-1}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow n=6k-5}$ , (5)

Επιλέγουμε τώρα μια τιμή του $\displaystyle{k}$ , τέτοια ώστε το κλάσμα $\displaystyle{\frac{8k-5}{3}}$ , να είναι ακέραιος. Π.χ έστω $\displaystyle{k=4}$

Τότε βρίσκουμε: $\displaystyle{k=4 , m=9 , n=19}$ , ενώ επίσης είναι $\displaystyle{w=\frac{1}{60}}$

Άρα βρήκαμε μια αριθμητική πρόοδο, η οποία έχει διαφορά $\displaystyle{w}$ , πρώτο όρο $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ , τέταρτο όρο το $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ ,

ένατο όρο το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ και δέκατο ένατο όρο το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ , και το ζητούμενο εδείχθη.

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. β) Να προσδιορίσετε μια οποιαδήποτε πρόοδο που να περιέχει σαν όρους τους αριθμούς $\displaystyle{\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}}$ .

διαφορετικά εδώ (ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1967 - ΑΛΓΕΒΡΑ )

#4

parmenides51 έγραψε:
3. Να αποδείξετε οτι το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} (a-c)z-(b-a)y=3a \\ (b-a)x-(c-b)z=3b \\ (c-b)y-(a-c)x=3c \end{array} \right.$ όπου $\displaystyle{a,b,c}$ όχι όλοι μηδέν,
δεν έχει στους θετικούς ακεραίους $\displaystyle{ x,y,z}$ άλλη λύση πλην της $\displaystyle{x=y=z=1}$ ,την οποία έχει μόνο εαν $\displaystyle{a+b+c=0}$ .

εδώ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε: Τρί Οκτ 22, 2013 10:25 pm 2. Συρμός τίθεται σε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση $\displaystyle{ 1 \,\, m / sec^2}$ σε μήκος $\displaystyle{200}$ μέτρων και συνεχίζει την πορεία του με αμετάβλητη την ταχύτητα που έχει αποκτήσει. Μετά από $\displaystyle{100 '' }$ τίθεται σε κίνηση σε παράλληλη τροχιά, και από την ίδια αφετηρία άλλος συρμός με σταθερή επιτάχυνση $\displaystyle{1,5 \,\, m / sec^2}$ σε μήκος $\displaystyle{x}$ μέτρων , και συνεχίζει την πορεία του ομοίως με αμετάβλητη την την ταχύτητα που έχει αποκτήσει. Οι συρμοί θα διασταυρωθούν σε απόσταση $\displaystyle{ \mu}$ μέτρων από την αφετηρία. Να εκφράσετε τη σχέση μεταξύ $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{ \mu}$ και να προσδιορίσετε το μήκος του $\displaystyle{x}$ για $\displaystyle{\mu = 6.000}$ μέτρα.
(Υπενθυμίζουμε τους τύπους $\displaystyle{V=\beta t}$ και $\displaystyle{S=\frac{1}{2}\beta t^2}$ όπου $\displaystyle{t}$ ο χρόνος, $\displaystyle{\beta}$ η σταθερά επιτάχυνση, $\displaystyle{S}$ το διανυθέν διάστημα και $\displaystyle{V}$ η αποκτηθείσα ταχύτητα)

Πρόκειται για άσκηση Κινηματικής, εκείνη την εποχή έπεφταν και τέτοιες ασκήσεις σε εισαγωγικές εξετάσεις Άλγεβρας.

Θα υπολογιστεί ο χρόνος $t_{1}$ που χρειάστηκε ο πρώτος συρμός για να διανύσει τα πρώτα 200m.

S=\frac{1}{2}\beta t^{2}_{1}

που ισοδυναμεί με

t_{1}=\sqrt{\frac{2S}{\beta}}

Αν τεθεί

S=200m

και

\beta=1 \,\, m / sec^2

προκύπτει ότι

t_{1}=20sec.

H ταχύτητα του πρώτου συρμού μετά από αυτά τα

20sec

είναι

V_{1} =1 \,\, m / sec^2\cdot20sec=20m / sec

Eπομένως αν

o συνολικός χρόνος που χρειάζεται ο πρώτος συρμός για να διασταυρωθεί με το δεύτερο, ισχύει

\mu=200+20(t-20)\Leftrightarrow \mu=20t-200

$\left( I \right)$

Ο χρόνος $t_{2}$ που χρειάστηκε ο δεύτερος συρμός για να διανύσει

μέτρα με σταθερή επιτάχυνση

1,5 \,\, m / sec^2

είναι

t_{2}=\sqrt{\frac{2x}{1,5}}=\sqrt{\frac{4x}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3x}

H ταχύτητα του δεύτερου συρμού μετά από χρόνο $t_{2}$ είναι

V_{2} =1,5 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3x}=\sqrt{3x}

Eπομένως αν

o συνολικός χρόνος που χρειάζεται ο πρώτος συρμός για να διασταυρωθεί με το δεύτερο, ισχύει

\mu=x+\sqrt{3x}\left( t-100-\frac{2}{3}\sqrt{3x} \right) (II)

Αυτό που πρέπει τώρα να γίνει είναι η απαλοιφή του

μεταξύ των (I)

και

(II).

Αν γίνει αυτό έχουμε τη σχέση

\mu=20\cdot \frac{x+90\sqrt{3x}}{\sqrt{3x}-20}

Αυτή είναι η σχέση που ζητείται.

Αν σε αυτήν τεθεί

\mu=6000

προκύπτει η εξίσωση

\left( \sqrt{3x} \right)^{2}-630\sqrt{3x}+18000=0

Aπό εδώ βρίσκεται ότι ή

\sqrt{3x}=30\Longleftrightarrow x=300m

ή

\sqrt{3x}=600\Longleftrightarrow x=120.000m

Η λύση

x=120.000m

δεν έχει λογικό αντίκρυσμα γιατί από τη φύση του προβλήματος προκύπτει ότι

x<\mu.

Μόνη δεκτή λύση

x=300m

ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1954 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση