Σύστημα

[rastaffari]

Καλημέρα
Έστω α,β,γ θετικοι ακέραιοι με α<β<γ
και ακόμα το σύστημα
2χ+ψ=2003,ψ=|χ-α|+|χ-β|+|χ-γ|
το οποίο έχει ακριβώς μια λύση.
Να βρεθεί η ελαχιστη τιμή του γ

[Demetres]

Εννοείς ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση σε ακεραίους; Διότι αλλιώς δεν μου φαίνεται να δουλεύει η άσκηση.

[Γιώργος Ρίζος]

Και για ακέραιες λύσεις των x, y παραείναι εύκολο.

Η μικρότερη δυνατή τιμή του γ είναι 3, όταν α =1, β =2.

Τότε, ελέγχοντας περιπτώσεις:
Για x > 3 έχουμε y = 3x - 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει μη ακέραιο ζεύγος λύσεων.
Για 2 =< x =< 3 δεν προκύπτει ακέραιη λύση, ούτε για 1 =< x < 2.

Για , x < 1, είναι:

y = -3x + 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει: x = -1997 και y = 5997.

Αγαπητέ Παναγιώτη, (rastaffari), μήπως κάπως αλλιώς έπρεπε να διατυπωθεί το πρόβλημα;

Φιλικά
Ρίζος Γιώργος

[rastaffari]

Γεια χαρά
Κυριε Γιωργο (Rigio) η εκφώνηση είναι έτσι (δεν νομίζω να την έχω μεταφράσει λάθος)
το βράδυ που θα είμαι σπίτι θα τη βάλω και στα αγγλικά
Ευχαριστώ πολύ
Παναγιώτης

[Demetres]

Νομίζω τώρα κατάλαβα τι ζητάει το θέμα. Συγνώμη αν σας σύγχυσα προηγουμένως. Λοιπόν, η άσκηση δεν μιλάει για τα χ,ψ να είναι ακέραιοι, άρα μάλλον επιτρέπεται να μην είναι ακέραιοι.

1) Σίγουρα θέλουμε γ >= 3.

2) Αν 3 <= γ <= 1000, τότε με α=γ-2 < β = γ-1 < γ έχουμε τις λύσεις χ = 3γ-2000 <= α και χ = (2000+3γ)/5 >=γ

3) Αν α=1 < β=1000 < γ=1001 έχουμε τις λύσεις χ = -1<α και α < χ = 3 < β

4) Τέλος, για α=1000,β=1001,γ=1002 υπάρχει μόνο η λύση χ= 1000.

(Λοίπουν αρκετές λεπτομέρειες και είναι πολύ πιθανόν να έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις αλλά νομίζω πως αυτή είναι η ιδέα.)