Εκθετικό σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^{x + y}} = {y^{12}} \\ {y^{x + y}} = {x^3} \\ \end{array} \right.}$

#2

exdx έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^{x + y}} = {y^{12}} \\ {y^{x + y}} = {x^3} \\ \end{array} \right.}$

Πρέπει

Μία προφανής λύση είναι η x=1,y=1.

Ψάχνουμε για κάτι δοαφορετικό, αν υπάρχει.

Αν ελενίσουμε, ελενάρουμε ή όπως αλλιώς θέλετε ( κάποτε θα γράψω μία εργασία για τη χρήση της "μαθηματικής" γλώσσας από εμάς και τους μαθητές) θα λάβουμε:

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y\\ \left( {x + y} \right)\ln y = 3\ln x \Leftrightarrow 3\ln x = \left( {x + y} \right)\ln y \end{array}}$

Αν διαιρέσουμε κατάμέλη θα προκύψει τελικά:

$\displaystyle{{\left( {x + y} \right)^2} = 36\mathop \Rightarrow \limits^{x + y > 0} x + y = 6}$

Τότε το σύστημα θα γίνει:

$\displaystyle{\begin{array}{l} {x^6} = {y^{12}}\\ {y^6} = {x^3} \end{array}}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{x = {y^2}}$

Αντικαθιστώντας έχω την εξίσωση:

$\displaystyle{{y^2} + y = 6}$

με λύσεις y=2,y=-3.

Προφανώςδεχόμαστε την y=2

οπότε θα είναι και x=4

.

Μία επαλήθευση θα μας πείσει για την ορθότητα της απαντησής μας.

Christos.N · #3

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^{x + y} = y^{12} \\ y^{x + y} = x^3 \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{x,y > 0} \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y \\ \left( {x + y} \right)\ln y = 3\ln x \\ \end{array} \right. \\ \\ x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 = 12\ln y \\ \left( {1 + y} \right)\ln y = 0 \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{y > 0} \ln y = 0 \Rightarrow y = 1 \\ \\ y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + 1} \right)\ln x = 0 \\ 0 = 3\ln x \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0} \ln x = 0 \Rightarrow x = 1 \\ \\ y,x \ne 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y \\ \left( {x + y} \right)\ln y = 3\ln x \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y \\ \frac{{\left( {x + y} \right)\ln y}}{{\left( {x + y} \right)\ln x}} = \frac{{3\ln x}}{{12\ln y}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y \\ \ln x = \pm 2\ln y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\ln x = 12\ln y \\ x = y^2 ,\,\,x = \frac{1}{{y^2 }} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {y^2 + y} \right)\ln y^2 = 12\ln y \\ x = y^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {y^2 + y} \right)\ln \frac{1}{{y^2 }} = 12\ln y \\ x = \frac{1}{{y^2 }} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {y^2 + y - 6} \right)\ln y = 0 \\ x = y^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {\frac{1}{{y^2 }} + y + 6} \right)\ln y = 0 \\ x = \frac{1}{{y^2 }} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{y > 0,y \ne 1} \left\{ \begin{array}{l} \left( {y^2 + y - 6} \right)\ln y = 0 \\ x = y^2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2 + y - 6 = 0 \\ x = y^2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2 \\ x = 4 \\ \end{array} \right. }$

Άρα $\displaystyle{ \left( {x,y} \right) \in \{ \left( {1,1} \right),\left( {4,2} \right)\} }$

chris t · #4

Δεν χανουμε (;) συμφωνα με τα παραπανω τη λυση $\left(x,y \right)=\left(9,-3 \right)$ ...προφανώς και δεν προκύπτει - απορρίπτεται από την χρήση των λογαρίθμων, αλλά από την άλλη ικανοποιεί το σύστημα..

orestisgotsis · #5

Περιττό

Γιώργος Απόκης · #6

Εδώ (με περιορισμό για ακέραιες λύσεις)

#7

Καλημέρα. Έχετε δίκιο για τη λύση που χάθηκε, παραλειψή μου. Ένας τρόπος να δουλέψουμε παρόμοια (με λογάριθμους)

ώστε να η χαθεί η λύση. Πέραν λοιπόν της προφανούς x=1,y=1

ψάχνουμε για άλλες λύσεις.

Είναι επίσης προφανές πως η (0,0)

δεν αποτελεί λύση.

Αν (x,y)

μία λύση του συτήματος τότε θα ισχύει:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^{x + y}} = {y^{12}}}\\ {{y^{x + y}} = {x^3}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| x \right|}^{x + y}} = {{\left| y \right|}^{12}}}\\ {{{\left| y \right|}^{x + y}} = {{\left| x \right|}^3}} \end{array}} \right.}$

Λαμβάνοντας λογαρίθμους έχουμε:

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + y} \right)\ln \left| x \right| = 12\ln \left| y \right|}\\ {\left( {x + y} \right)\ln \left| y \right| = 3\ln \left| x \right|} \end{array}} \right.}$

Με διαίρεση κατά μέλη πάλι προκύπτει (x+y)^2=36

επομένως

ή

.

Αν

τότε το σύστημα γίνεται:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| x \right|}^6} = {{\left| y \right|}^{12}}}\\ {{{\left| y \right|}^6} = {{\left| x \right|}^3}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left| x \right| = {\left| y \right|^2} \Rightarrow x = \pm {y^2}}$

Αν x=y^2

τότε προκύπτουν οι λύσεις που έχουν ήδη αναφερθεί (4,2)

και

Δεκτές λύσεις αφού επαληθεύουν το αρχικό μου σύστημα.

Αν x=-y^2

τότε έχω την εξίσωση y^2-y+6=0

που είναι φανερά αδύνατη ( $\Delta <0$ )

Αν x+y=-6

έχουμε

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| x \right|}^{ - 6}} = {{\left| y \right|}^{12}}}\\ {{{\left| y \right|}^{ - 6}} = {{\left| x \right|}^3}} \end{array}} \right. \Rightarrow {\left| x \right|^{ - 3}} = {\left| y \right|^6} \Rightarrow x =\pm \frac{1}{{{y^2}}}}$

Αν $x=\frac{1}{y^2}$ τότε προκύπτει η εξίσωση:

y^3+6y^2+1=0

(Συμπλήρωμα: Είδα πως έχω ξεχάσει αυτήν την περίπτωση. Δεν προλαβαίνω όμως τώρα, μεσημεράκι πιά! Σαν να μου φαίνεται πως έχει και κάποια άλλη υποπτη λύση. Τα λέμε!)

Πάμε τώρα για σχολείο... Με περιμένουν

χλμ πήγαινε-έλα κτλ, κτλ.

Να έχετε μία πολύ καλή ημέρα σε όλους τους τομείς.

#8

Η εξίσωση που άφησα άλυτη το πρωϊ έχει μία πραγματική αρνητική άρρητη ρίζα (δε μπορώ να το αποδείξω με ύλη β' λυκείου) την

οποία δε μπορώ να την προσδιορίσω ακριβώς.

Πέρα από αυτό όμως θέλω να ρωτήσω ποιά είναι η λύση που έχει ο Γιώργης υπ'όψη του και την έβαλε στην άλγεβρα της Β'Λυκείου.

Μπορεί και να έχω λάθος αλλά νομίζω πως δεν είναι και τόσο συμβατή με την ύλη της Β' Λυκείου.

#9

Η λύση που είχα υπόψη μου είναι αυτή που φαίνεται στο συνημμένο .
Η άσκηση είναι από ένα Ρουμάνικο βιβλίο . Στην εκφώνηση δεν καθορίζει πεδίο ορισμού , ενώ στη λύση ξεκινά με την (αυθαίρετη , όπως αποδείχτηκε ) υπόθεση : $\displaystyle{\,\,x > 0\,\,,\,\,y > 0\,\,\,}$

Εκθετικό σύστημα

Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση