Ένας λόγος επιπλέον

KARKAR · #1

: Ένας λόγος επιπλέον.png (6.65 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Το ύψος

, ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC ,(AB=AC)$ , χωρίζει την πλευρά

σε λόγο $\displaystyle \frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}$

Βρείτε το λόγο στον οποίο χωρίζει το ύψος

, δηλαδή βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{AS}{SD}$ . Ο Μενέλαος ας περιμένει ...

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ένας λόγος επιπλέον.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ύψος , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC ,(AB=AC)$ , χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\displaystyle \frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}$

Βρείτε το λόγο στον οποίο χωρίζει το ύψος , δηλαδή βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{AS}{SD}$ . Ο Μενέλαος ας περιμένει ...

Καλησπέρα.

: Ένας λόγος επιπλέον.png (5.86 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Έστω

. Είναι: $\displaystyle{AE = \frac{2}{3}b,EC = \frac{1}{3}b}$

Από τα ορθογώνια τρίγωνα BEC, ADC

έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu C = \frac{{EC}}{{BC}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu C = \frac{b}{{3a}}}$ , $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu C = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu C = \frac{a}{{2b}}}$ .

Άρα $\displaystyle{\frac{b}{{3a}} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{3{a^2} = 2{b^2}}$ (1)

Τα τρίγωνα ASE, ABD

είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια και έχουν $\displaystyle{B\widehat AD = S\widehat AE}$
$\displaystyle{\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} \Leftrightarrow \frac{{AS}}{b} = \frac{{2b}}{{3AD}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AS = \frac{{2{b^2}}}{{3AD}}}$ (2)

Τα τρίγωνα BSD, ABD

είναι επίσης όμοια (τα BSD, ASE

είναι ισογώνια)

$\displaystyle{\frac{{SD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow \frac{{2SD}}{a} = \frac{a}{{2AD}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{SD = \frac{{{a^2}}}{{4AD}}}$ (3)

Από

, έχουμε $\displaystyle{\frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{8{b^2}}}{{3{a^2}}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{8{b^2}}}{{2{b^2}}}}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AS}}{{SD}} = 4}$

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ένας λόγος επιπλέον.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ύψος , ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC ,(AB=AC)$ , χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{2}{1}$

Βρείτε το λόγο στον οποίο χωρίζει το ύψος , δηλαδή βρείτε το λόγο $\displaystyle \frac{AS}{SD}$ . Ο Μενέλαος ας περιμένει ...

Καλησπέρα σε όλους.
Δεν ξέρω αν είμαι "νόμιμος" στην λύση .

: Ενας λόγος.png (27.71 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Αν από το

φέρουμε παράλληλη στην

και κόψει την

στο

, επειδή

θα είναι και CM = ME = m

. Αν από το μέσο

του

φέρουμε παράλληλη στην

και κόψει την

στο

αυτή θα είναι παράλληλη και στην

και θα ισχύει : AN = NE = EC = 2m

. Οπότε θα είναι και AZ = ZS

. Έστω

άρα $ZS = 2h\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = h$ , συνεπώς $\boxed{\dfrac{{AS}}{{SD}} = \dfrac{{4h}}{h} = 4}$ .

Νίκος

p_gianno · #4

Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι EC=2

οπότε

.

Φέρω DM||EC

οπότε

και γωνία

Είναι επίσης τργ $SMD \sim SEA$ συνεπώς 4:1=AE:MD=AS:SD

Ένας λόγος επιπλέον

Ένας λόγος επιπλέον

Re: Ένας λόγος επιπλέον

Re: Ένας λόγος επιπλέον

Re: Ένας λόγος επιπλέον

Μέλη σε σύνδεση