Ακέραιες λύσεις!

#1

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{3^x+x^4=5^x.}$

gavrilos · #2

Μια κακάσχημη,χαμάλικη λύση.

Αν $\displaystyle{x<0}$ τότε $\displaystyle{3^x>5^x}$ οπότε έχουμε άτοπο.

Βλέπουμε ότι $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$ είναι λύσεις.

Ακόμη ο $\displaystyle{x}$ πρέπει να είναι άρτιος.

Επίσης $\displaystyle{(-2)^x+x^4\equiv 0 \pmod 5}$ άρα ο $\displaystyle{x}$ δεν είναι πολ\σιο του 5.

Έτσι $\displaystyle{2^x\equiv -1\pmod 5}$ .

Εξετάζοντας τις περιπτώσεις $\displaystyle{x\equiv 0,2\pmod 4}$ παίρνουμε $\displaystyle{x\equiv 2\pmod 4}$ .

Έχουμε $\displaystyle{3^x+x^4-5^x=0\Leftrightarrow 3^x+x^4-(3+2)^x=0\Leftrightarrow 3^x+x^4-3^x-2^x>0\Leftrightarrow x^4-2^x>0}$ .

Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{x^4\leq 2^x \ \forall x\geq 16}$ .

Για $\displaystyle{x=16}$ έχουμε ισότητα.

Έστω ότι για $\displaystyle{k>16}$ ισχύει $\displaystyle{2^k>k^4}$ .Τότε για $\displaystyle{k\to k+1}$ παίρνουμε $\displaystyle{2^{k+1}=2^k \cdot 2>2k^4}$ .

Αρκεί ν.δ.ο. $\displaystyle{2k^4>(k+1)^4\Leftrightarrow k\cdot \sqrt[4]{2}>k+1\Leftrightarrow k\geq \frac{1}{\sqrt[4]{2}-1}}$ .

Όμως $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[4]{2}-1}=(\sqrt{2}+1)(\sqrt[4]{2}+1)<16}$ .

Επειδή $\displaystyle{k>16}$ η απόδειξη ολοκληρώθηκε.Επομένως είναι αδύνατο να έχουμε λύσεις μεγαλύτερες του $\displaystyle{16}$ .

Επειδή $\displaystyle{x\equiv 2\pmod 4}$ αρκεί να εξετάσουμε τις τιμές $\displaystyle{6,10,14}$ .

$\bullet$ $\displaystyle{3^6 +6^4=5^6}$ .Από FLT παίρνουμε $\displaystyle{3^6 ,5^6\equiv 1\pmod 7}$ άρα θα πρέπει $\displaystyle{7\mid 6^4}$ που είναι άτοπο.

$\bullet$ $\displaystyle{3^{10}+10^4=5^{10}}$ .Το δεξί μέλος λήγει σε $\displaystyle{5}$ και το αριστερό σε $\displaystyle{9}$ (γίνεται και με FLT όπως προηγουμένως).

$\bullet$ $\displaystyle{3^{14} +14^4=5^{14}}$ .Θα πρέπει $\displaystyle{3^{14}\equiv 5^{14}\pmod 7}$ .Όμως $\displaystyle{3^{14}=(3^2)^7\equiv 2\pmod 7}$ και $\displaystyle{5^{14}=(5^2)^7\equiv 25\equiv 4\pmod 7}$ αδύνατο.

Άρα μοναδικές λύσεις οι $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$ .

*Το κατέστρεψα το πρόβλημα.

#3

Μια ακόμα λίγο διαφορετική λύση:

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{5^x -3^x =x^4 \geq 0 \Rightarrow 5^x \geq 3^x \Rightarrow x\geq 0}$ .

Αν $\displaystyle{x=0}$ , η εξίσωση επαληθεύεται , το ίδιο και αν $\displaystyle{x=2}$ , ενώ αν $\displaystyle{x=1}$ ή $\displaystyle{x=3}$ , τότε δεν επαληθεύεται. Επίσης εύκολα διαπιστώνουμε ότι πρέπει

$\displaystyle{x^4}$ άρτιος και άρα και $\displaystyle{x}$ άρτιος. Άρα ο $\displaystyle{x}$ θα έχει μία από τις δύο μορφές: $\displaystyle{x=4k}$ , ή $\displaystyle{x=4k+2}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x=4k}$ , με $\displaystyle{k\geq 1}$ . Tότε $\displaystyle{3^x =3^{4k}=(3^4 )^k}$ και λήγει σε $\displaystyle{1}$

Επίσης $\displaystyle{x^4 =(4k)^4 =256 k^4 }$ και αφού ο $\displaystyle{k^4}$ λήγει σε $\displaystyle{0}$ ή $\displaystyle{1}$ ή $\displaystyle{5}$ ή $\displaystyle{6}$ , άρα ο $\displaystyle{x^4}$ θα λήγει σε $\displaystyle{0}$ ή $\displaystyle{6}$ . Συνεπώς ο $\displaystyle{3^x +x^4}$

λήγει σε $\displaystyle{1}$ ή $\displaystyle{7}$ , πράγμα άτοπο, αφού ο $\displaystyle{5^x}$ λήγει σε $\displaystyle{5}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x=4k+2}$ , $\displaystyle{k\geq 1}$ . Τότε $\displaystyle{3^x +x^4 =5^x \Leftrightarrow 3^{4k+2}+(4k+2)^4 =5^{4k+2}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{9.3^{4k}+16(2k+1)^4 =25.5^{4k}\Leftrightarrow 9.3^{4k}+16(2k+1)^4 =9.5^{4k}+16.5^{4k}\Leftrightarrow 9(3^{4k}-5^{4k})=16[5^{4k}-(2k+1)^4 ]}$

Όμως το πρώτο μέλος της ισότητας αυτής είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο είναι θετικό διότι από την ανισότητα του Bernulli, έχουμε:

$\displaystyle{5^k =(1+4)^k \geq 1+4k >1+2k \Rightarrow 5^k >1+2k\Rightarrow 5^{4k}>(2k+1)^4}$

Άρα και η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη. Συνεπώς οι μοναδικές λύσεις είναι $\displaystyle{x=0}$ , ή $\displaystyle{x=2}$

Αρχιμήδης 6 · #4

matha έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{3^x+x^4=5^x.}$

Αν

προφανώς

οπότε δεν έχουμε λύσεις.

Εμπειρικά ξέρουμε ότι η συνάρτηση 5^x-3^x

μετά από κάποιον

είναι μεγαλύτερη από x^4

.

Για

Αληθές

Για x=1

δεν αληθεύει.

Για x=2

Αληθές.

Για x=3

,

Εύκολα μπορεί κάποιος να αποδείξει επαγωγικά ότι 5^x-3^x>x^4

για

Μοναδικές λύσεις x=0, x=2

Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #5

matha έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{3^x+x^4=5^x.}$

Για

δεν έχουμε λύσεις (Δες πιο πάνω post.)

Είναι προφανές ότι

άρτιος οπότε μπορούμε να εργαστούμε πυθαγόρεια...

Έστω x=2k

Επειδή

τότε οι πυθαγόρειες τριάδες θα είναι αρχικές.

3^k=u^2-v^2

,

.όχι και οι 2 περιττοί.

Από την πρώτη σχέση θα υπάρχουν a,b

ώστε

,

Αντικαθιστώντας τα u,v

στην δεύτερη σχέση θα έχω...

$2*5^{a+b}=3^{2a}+3^{2b}$ οπότε a=0

με προφανείς λύσεις b=0

,

που τελικά δίνουν x=0

,

Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #6

matha έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{3^x+x^4=5^x.}$

Η πιο σύντομα θα μπορούσαμε να πούμε...

x=2k

$(5^{k}-4k^2)(5^k+4k^2)=3^{2k}$

5^k-4k^2=3^a

,

οπότε

και συνεχίζω όπως πριν...

Ακέραιες λύσεις!

Ακέραιες λύσεις!

Re: Ακέραιες λύσεις!

Re: Ακέραιες λύσεις!

Re: Ακέραιες λύσεις!

Re: Ακέραιες λύσεις!

Re: Ακέραιες λύσεις!

Μέλη σε σύνδεση