Επαναληπτικό

dennys · #1

Δίνεται ο μιγαδικός

,η εικόνα του οποίου κινείται με βάση την εξίσωση : $\displaystyle |z-4+4i|=2$

και ο μιγαδικός w : w=2z+4+2i .

1)Να βρείτε που κινείται η εικόνα του

.Εστω οι εικόνες δύο μιγαδικών A(z),B(w)

,

που κινούνται στούς άνω τόπους, να βρείτε που κινείται η εικόνα του μέσου M(u)

του ευθυγράμμου τμήματος

,

και να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του $\displaystyle |z-u|$ .

2)Aν περιορίσουμε το $|z|\in [1,3]$ , να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του |m|

, αν

και για ποιά τιμη του |z|

,έχουμε αυτά .

3)Αν z_1,z_2

, δυο μιγαδικοί του δοσμένου κύκλου με $z_1\bar {z_2}+\bar {z_1}z_2=0$ ,να δείξετε οτι το τρίγωνο

που σχηματίζουν οι εικόνες τους με το κέντρο του κύκλου είναι ορθογώνιο στο κέντρο .Αν για ενα μιγαδικό k: |k-z_1|+|k-z_2|=|z_1-z_2|

να δειχθεί οτι $|k| \geq {\sqrt{2}}$

4) Aν για ενα μιγαδικό r, |r+i|=1

, να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $b\geq 0: |r^2-1|\geq b^2$

καλή επιτυχία στους υποψήφιους και σε όλους τους δάσκαλους
dennys (Βουτσάς Διονύσης)

Σπύρος Φρόνιμος · #2

Α) Η δοθείσα σχέση |z-4+4i|=2

γράφεται $|z-(4-4i)|=2\;\;(1)$ πράγμα που μας δείχνει οτι οι είκονα του μιγαδικού

ανήκει στον κύκλο με κέντρο
K(4,-4)

και ακτίνα

.

Έχουμε $w=2z+4+2i\Rightarrow z=\frac{w-4-2i}{2}$ .
Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει : $\left|\frac{w-4-2i}{2}-(4-4i)\right|=2\Rightarrow |w-(12-6i)|=4$ άρα οι εικόνες του

ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ν(12,-6)

και ακτίνα

.

Εαν

και

ισχύει : $w=2z+4+2i\Rightarrow c+di=(2a+4)+i(2b+2)\Rightarrow c=2a+4, d=2b+2\;\;(2)$

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες της εικόνας M(u)

του μιγαδικού u=x+yi

είναι :
$x=\frac{a+c}{2}$ και $y=\frac{b+d}{2}$ άρα από τη σχέση (2) έχουμε : $x=\frac{a+c}{2}=x=\frac{3a+4}{2}\Rightarrow a=\frac{2x-4}{3}$ και $b=\frac{2y-2}{3}$

Η καρτεσιανή εξίσωση του κύκλου των εικόνων του

είναι :

οπότε με αντικατάσταση παίρνουμε :
$\left(\frac{2x-4}{3}-4\right)^2+\left(\frac{2y-2}{3}+4\right)^2=4\Rightarrow \left(x-8\right)^2+\left(y+5\right)^2=4$

Άρα οι εικόνες του

ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το L(8,-5)

και ακτίνα

.

Επίσης $\min|z-u|=KL-2-3=\sqrt{(8-4)^2+(-5+4)^2}-5=\sqrt{17}-5$

dennys · #3

Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε

Το Β αγαπητέ φίλε έχει πολλά προβλήματα .
.Αν θέλετε ξαναδείτε το.Δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται,αλλά είναι απο διαγώνισμα στο
φροντιστήριο τελευταία.

ευχαριστώ

Σπύρος Φρόνιμος · #4

dennys έγραψε:Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε

Το Β αγαπητέ φίλε έχει πολλά προβλήματα .
.Αν θέλετε ξαναδείτε το.Δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται,αλλά είναι απο διαγώνισμα στο
φροντιστήριο τελευταία.

ευχαριστώ

Θα το ξανακοιτάξω ευχαριστώ!

Θεοδωρος Παγωνης · #5

Είναι σίγουρα σωστή η εκφώνηση του Β ερωτήματος διότι δεν υπάρχει μιγαδικός $\displaystyle{z}$ για τον οποίο να ισχύει $\displaystyle{\left| z-4+4i \right|=2}$ και $\displaystyle{|z|\in \left[ 1\ ,\ 3 \right]}$ ταυτόχρονα .
Αν όμως το β ερώτημα αφορά γενικώς οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό τότε :
Είναι $\displaystyle{mz={{\left| z \right|}^{2}}+4\overset{z\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,m=\frac{{{\left| z \right|}^{2}}+4}{z}}$ , άρα $\displaystyle{|m|=\left| \frac{{{\left| z \right|}^{2}}+4}{z} \right|\Leftrightarrow |m|=\frac{{{\left| z \right|}^{2}}+4}{|z|}}$ και θεωρώ την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{{{x}^{2}}+4}{x}}$ με $\displaystyle{x\in \left[ 1\ ,\ 3 \right]}$ και $\displaystyle{{f}'(x)=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}}$ . κ.τ.λ.

#6

Στο #4 ζητάμε ουσιαστικά το ελάχιστο του |r^2-1|

όταν

. (Κάπως ατυχής η χρήση του

για μιγαδικό πάντως...) Θέτοντας r=x+iy

... καταλήγουμε να ζητάμε το ελάχιστο του |x^2-y^2-1+2xyi|

όταν

... να υποθέτουμε δηλαδή x^2+y^2+2y=0

και να ζητάμε το ελάχιστο του $\sqrt{(x^2-y^2-1)^2+4x^2y^2}=\sqrt{(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)+1}$ . Λόγω της x^2=-y^2-2y

, η προς ελαχιστοποίηση ποσότητα γίνεται $\sqrt{8y^2+4y+1}$ , οπότε το ελάχιστο επιτυγχάνεται για $y=-\displaystyle\frac{1}{4}$ (και $x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}$ ), και ισούται προς $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ (άρα $b=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ ).

Γιώργος Μπαλόγλου

Επαναληπτικό

Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Re: Επαναληπτικό

Μέλη σε σύνδεση