Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

#1

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\displaystyle{\rm \frac{x^3+y^3}{x-y}=2010}$

είναι αδύνατη στους θετικούς ακεραίους.

Ανδρέας Πούλος · #2

Πρέπει x > y. Άρα, x = y +a

με

φυσικό αριθμό.
Η εξίσωση τώρα γράφεται: $\left(y+a \right)^{3}+y^{3}=2010a$ ή $(2y+a)(y^{2}+a^{2}+ay)=2010a$ .
Πρέπει a/2y+a

ή

.
Και στις δύο περιπτώσεις πρέπει a/y

. Έστω

με

φυσικό αριθμό.
Η εξίσωση τώρα γράφεται: (2ab + a)(a^2b + a^2b^2 + a^2) = 2010a

.
Από εδώ παίρνουμε (2b+1)(b^2 + b + 1)a^2 = 2010 = 1.2.3.5.67

.
Άρα,

. Τότε η εξίσωση δεν έχει λύση στους φυσικούς.
Ο καλός φίλος Δημήτρης, έστειλε το ακόλουθο μήνυμα.

Καλημέρα Ανδρέα.
Μήπως χρειάζεται να δούμε πρώτα αν οι αριθμοί , , είναι πρώτοι μεταξύ τους;

Πράγματι, η λύση που έδωσα δεν είναι σωστή.
Αλλά δεν είναι σωστό και να την σβήσω. Θα την διορθώσω υποθέτω σύντομα, τώρα βγαίνω για διάφορες δουλειές.

Ανδρέας Πούλος

#3

Η λύση ήταν λάθος αφού διάβασα x^3-y^3

αντί

. (Ευχαριστώ τον gavrilos που το πρόσεξε.)

Τα διαγράφω αφού έβαλα σε επόμενο μήνυμα την σωστή ελπίζω απόδειξη.

#4

Έστω

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των x,y

. Τότε

με

.

Είναι $\displaystyle{ (a+b)(a^2-ab+b^2)d^2 = 2010(a-b)}$ .

Αν p|(a^2-ab+b^2)

και

τότε

. Άρα

και άρα

ή

. Και στις δύο περιπτώσεις, αφού p|(a-b)

παίρνουμε

και

, άτοπο αφού (a,b) = 1

.

Οπότε αν p|(a^2 - ab + b^2)

τότε $p\nmid (a-b)$ και άρα p|2010

οπότε $p \in \{2,3,5,67\}$ .

Επειδή (a,b)=1

τότε τουλάχιστον ο ένας από τους a,b

είναι περιττός οπότε $2 \nmid (a^2-ab+b^2)$ .

Επίσης 4(a^2 - ab + b^2) = (2a-b)^2 + 3b^2.

Άρα αν

τότε

. Τότε όμως 3|(2a+2b)

. Οπότε

. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού $3 \nmid (a-b)$ και $3^2 \nmid 2010$ .

Τέλος επειδή 4(a^2 - ab + b^2) = (2a-b)^2 + 3b^2

, αν

τότε

. Όμως τα μόνο τέλεια τετράγωνο $\bmod 5$ είναι τα $\pm 1$ οπότε 5|(2a-b)

και

. Τότε όμως 5|(a-b)

, άτοπο.

Άρα αν p|(a^2 - ab+b^2)

τότε

. Σε αυτήν την περίπτωση $67 \nmid (a-b)$ και αφού $67^2 \nmid 2010$ πρέπει a^2 - ab + b^2 = 67

. Άρα $a^2 - ab + b^2 \in \{1,67\}$ . Άρα $(2a-b)^2 + 3b^2 \in \{4,268\}$ και μια μικρή ανάλυση περιπτώσεων δίνει τα πιο κάτω πιθανά ζευγάρια:

$\displaystyle{ (a,b) \in \{(1,1),(3,2),(9,7),(2,9),(7,9) \}}$

Το πρώτο δίνει d=0

που απορρίπτεται. Το δεύτερο και τρίτο δίνουν d^2 = 402

και

αντίστοιχα που επίσης απορρίπτονται. Τέλος τα άλλα δύο δίνουν a < b

που πάλι απορρίπτονται.

Άρα η εξίσωση όντως δεν έχει λύση στους φυσικούς.

Ανδρέας Πούλος · #5

Μία άλλη προσέγγιση.
Η αρχική σχέση γράφεται: $x^{3}+y^{3}=2010.(x-y)$ ή $x.(2010 - x^{2})=y.(y^{2}+ 2010)$ . (1).
Αυτό σημαίνει ότι 2010 > x^2

δηλαδή

. Σημειώνουμε επίσης, οι αριθμοί x, y είναι είτε και οι δύο άρτιοι είτε και οι δύο περιττοί.
Για x = 44, η σχέση (1) γράφεται: $y.(y^{2}+ 2010) = 660$ , η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη στους θετικούς ακέραιους, προφανές.
Για x = 43, η σχέση (1) γράφεται: $y.(y^{2}+ 2010) = 6923$ , η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη στους θετικούς ακέραιους, ακόμη και για y =3

.
Για x = 42, η σχέση (1) γράφεται: $y.(y^{2}+ 2010) = 10332$ , η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη στους θετικούς ακέραιους, ακόμη και για y = 6

και

.
Για x = 41, η σχέση (1) γράφεται: $y.(y^{2}+ 2010) = 13489$ , η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη στους θετικούς ακέραιους, ακόμα και για y = 7

και

.
Με την ίδια πρακτική αποδεικνύεται ότι εξίσωση (1) είναι αδύνατη για κάθε φυσικό αριθμό χ από το 44 έως το 2.

Ανδρέας Πούλος

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους!

Μέλη σε σύνδεση