Συναρτησιακή εξίσωση (νζ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x))+f(xy) = f(x)+x f(y+2013) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Έστω

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) + xf\left( {y + 2013} \right)}$ $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Θέτοντας y = 0

στη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( 0 \right) = f\left( x \right) + xf\left( {2013} \right)}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Με αντικατάσταση στη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) + xf\left( {2013} \right) - f\left( 0 \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) + xf\left( {y + 2013} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow xf\left( {2013} \right) - f\left( 0 \right) + f\left( {xy} \right) = xf\left( {y + 2013} \right)}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας y = 1

στη σχέση $\bf \color{red} \left(1 \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) = \left[ {f\left( {2014} \right) - f\left( {2013} \right)} \right]x + f\left( 0 \right)}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , δηλαδή ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) = ax + b,}$

όπου $a, b \in \mathbb{R}$ .

Με αντικατάσταση στη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{a\left( {ax + b} \right) + b + axy + b = ax + b + x\left( {a\left( {y + 2013} \right) + b} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {a^2}x + ab + axy + 2b = ax + b + axy + 2013ax + bx \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2014a - b} \right)x + \left( {a + 1} \right)b = 0}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , οπότε

$\displaystyle{{{a^2} - 2014a - b = 0}}$ και $\displaystyle{\left( {a + 1} \right)b =0.}$

$\bullet$ Αν b = 0

, τότε $\displaystyle{{{a^2} - 2014a = 0 \Leftrightarrow a \in \left\{ {0,2014} \right\}}, }$ οπότε προκύπτουν οι συναρτήσεις

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = 0}}$ και $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = 2014x}.}$

$\bullet$ Αν a =- 1

, τότε

οπότε προκύπτει η συνάρτηση

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = -x + 2013}.}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=568060

Συναρτησιακή εξίσωση (νζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (νζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (νζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (νζ)

Μέλη σε σύνδεση