εύρεση συνάρτησης---------------->Bulletin (Δ. 2)

mathxl · #1

Από διαγωνισμό

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R -> R που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + 2xy + 1
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x και y.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ
Βοηθητικό υποερώτημα: Δείξτε ότι υπάρχει πραγματικός α ώστε f(x+1)= αf(x)+2x+1 για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x.

#2

Θα με βόλευε αν η συνάρτηση ήταν συνεχής! Καταθέτω τις ως τώρα σκέψεις μου επί του θέματος στο συνημμένο.

mathxl · #3

Παύλε όταν ανοίγω το έγγραφο σου είναι 3 σελίδες κενές...μόνο στην πρώτη σελίδα έχει την λέξη Kyriakh

mathxl · #4

Παύλε, πρόλαβα να κοτάξω την λύση σου, είναι σωστή(αν θυμάμαι καλά βρήκες χ^2-1,2χ-1,-χ-1 απλώς σε δύο έδωσες πεδίο ορισμού τους ρητούς. Εύκολα αυτές οι δύο επαληθεύουν την αρχική για κάθε πραγματικό χ.

#5

Πράγματι, αλλά αυτό δεν αποδεικνύει ότι είναι οι μόνες λύσεις.

#6

Την είχα κοιτάξει πριν καιρό αλλά μετά την ξέχασα. Και εγώ έβρισκα όλες τις πιθανές συναρτήσεις στους ρητούς αλλά μετά από ρητούς σε πραγματικούς δεν μπορούσα να αποφασίσω αν υπάρχουν άλλες ή όχι.

Επειδή μπλέκει και πολλαπλασιασμό και άθροισμα έχω μια υποψία ότι ίσως να μην χρειάζεται τίποτα άλλο για να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις. Αλλά δεν μπόρεσα να το δείξω ...

Συμφωνώ πάντως πως αν ξέρουμε ότι η f είναι συνεχής τότε δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις.

mathxl · #7

Την άσκηση την πήρα από ολυμπιακό θέμα δεν θυμάμαι πιο...Οι λύσεις είναι μόνο αυτές, απόσο θυμάμαι. Όταν βρω χρόνο θα την πληκτρολογήσω, είναι παρόμοια λύση με του Παύλου.

#8

Πρόβλημα

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R -> R που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + 2xy + 1

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x και y.

Λύση
Θέτωντας y=0 παίρνουμε ότι αν η

δεν είναι σταθερή τότε f(0)=-1

.
Και θέτοντας τώρα x=1 , y=-1 δίνει f(1)=1

ή

.
An

τότε για x=1 η αρχική σχέση μας δίνει f(x)=2x-1

που είναι όντως μια λύση .
Αν $f(1)=a\neq 1$ τότε f(-1)=0

και για

και

παίρνουμε

και

άρα

ή πιο απλά f(x)=(1-a)f(-x)+a(2x-1)

(*). Θέτοντας τώρα όπου x to -x στην τελευταία παίρνουμε f(-x)=(1-a)f(x)+a(-2x-1)

. Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες παίρνουμε :
(a^2-2a)f(x)=-2a^2x-(a^2-2a)

Για a διαφορετικό από 0 και 2 παίρνουμε $f(x)=\frac{-2ax}{a-2}-1$ και βάζοντας την στην αρχική μας δίνει
a=-2

και

.
Η περίπτωση a=2

προφανώς απορρίπτεται και τώρα μας μένει μόνο η a=0

Για

η (*) δίνει f(x)=f(-x)

και θέτοντας (x,y)=(z,z)

και

στην αρχική μας δίνει :
f(2z)+f^2(z)=f(z^2)+2z^2+1

και

και αφαιρώντας τες έχουμε :
f(2z)=4z^2-1

άρα

Άρα οι συναρτήσεις είναι οι $f(x)=2x-1,\ f(x)=x^2+1,\ f(x)=x^2-1$

#9

Πολύ ωραία λύση smar

εύρεση συνάρτησης---------------->Bulletin (Δ. 2)

εύρεση συνάρτησης---------------->Bulletin (Δ. 2)

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση