Μια συναρτησιακή!

#1

Να βρείτε τις συναρτήσεις $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ),}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{\rm f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)~\text{\gr για κάθε}~ x,y\in \mathbb{R}.}$

#2

matha έγραψε:Να βρείτε τις συναρτήσεις $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ),}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{\rm f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)~\text{\gr για κάθε}~ x,y\in \mathbb{R}.}$

Εύκολα για x=y=0

, έχουμε $\displaystyle{f(0)\left[ {1 + f(0)} \right] = 0\mathop \Rightarrow \limits^{1 + f(0) \ge 1 > 0} f(0) = 0}$ .

Θέτοντας όπου $x\rightarrow -x$ λαμβάνουμε $\displaystyle{f(x) + f( - x) + f(x)f( - x) = 0 \Rightarrow f(x) + f( - x) + f(x)f( - x) + 1 = 1 \Rightarrow ...\left( {f(x) + 1} \right)\left( {f( - x) + 1} \right) = 1}$

ή συνεχίζοντας έχω:

$\displaystyle{\frac{1}{{f(x) + 1}} = f( - x) + 1 \ge 1,\forall x \in \mathbb{R}\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) + 1 \ge 1 > 0} f(x) + 1 \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}} f(x) = 0,\forall x \in \mathbb{R}}$

συνάρτηση δεκτή αφού επαληθεύει φανερά τη δοθείσα.

Καλό σας βράδυ.