Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^{x+y}=y^{\nu} \\ y^{x+y}=x^{2\nu}y^{\nu} \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{x>0,y>0}$ και $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός.

2. Δίνεται επίπεδο $\displaystyle{(\Pi)}$ , μια ευθεία του $\displaystyle{(\varepsilon) }$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου $\displaystyle{(\Pi)}$ με απόσταση του από αυτό $\displaystyle{(AK)=\alpha}$ .
Έστω $\displaystyle{(K\Lambda)=2\alpha}$ η απόσταση του σημείου $\displaystyle{K}$ από την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ .
Από το μέσο $\displaystyle{\Delta }$ του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{K\Lambda}$ φέρνουμε την παράλληλο $\displaystyle{\Delta x}$ προς την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και έστω $\displaystyle{M}$ τυχαίο σημείο της.
Ζητείται να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και $\displaystyle{AM}$ .

3. ΝΑ βρεθούν όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x,y)}$ που επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu x+\sigma\upsilon\nu y-\sigma\upsilon\nu(x+y)=\frac{3}{2}}$ .

Θεοδωρος Παγωνης · #2

1) Ονομάζω $\displaystyle{{{x}^{x+y}}={{y}^{v}}}$ (1) και $\displaystyle{{{y}^{x+y}}={{x}^{2v}}{{y}^{v}}}$ (2)
Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1),(2) έχω : $\displaystyle{{{x}^{x+y}}{{y}^{x+y}}={{y}^{v}}{{x}^{2v}}{{y}^{v}}\Leftrightarrow {{\left( xy \right)}^{x+y}}={{\left( xy \right)}^{2v}}\Leftrightarrow x+y=2v}$ (3) .
Με διαίρεση κατά μέλη των (1) , (2) έχω $\displaystyle{\frac{{{x}^{x+y}}}{{{y}^{x+y}}}=\frac{{{y}^{v}}}{{{x}^{2v}}{{y}^{v}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{x}{y} \right)}^{x+y}}={{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2v}}\overset{(3)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{2v}}={{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2v}}\Leftrightarrow y={{x}^{2}}}$ (4)
Η (3) λόγω της (4) γίνεται : $\displaystyle{x+{{x}^{2}}=2v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2v=0}$ με $\displaystyle{\Delta =1+8v>1}$ για κάθε $\displaystyle{v\in \mathbb{N}}$ . Οπότε $\displaystyle{x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8v}}{2}}$ και επειδή $\displaystyle{x>0}$ έχω $\displaystyle{x=\frac{-1+\sqrt{1+8v}}{2}}$ .
Οπότε η (4) δίνει $\displaystyle{y={{\left( \frac{-1+\sqrt{1+8v}}{2} \right)}^{2}}=\frac{\left( 2+8v \right)-2\sqrt{1+8v}}{4}=\frac{\left( 1+4v \right)-\sqrt{1+8v}}{2}}$

Έγινε μια διόρθωση στον παρονομαστή στην τελευταία γραμμή.

orestisgotsis · #3

Περιττό

#4

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται επίπεδο $\displaystyle{(\Pi)}$ , μια ευθεία του $\displaystyle{(\varepsilon) }$ και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός του επιπέδου $\displaystyle{(\Pi)}$ με απόσταση του από αυτό $\displaystyle{(AK)=\alpha}$ .
Έστω $\displaystyle{(K\Lambda)=2\alpha}$ η απόσταση του σημείου $\displaystyle{K}$ από την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ .
Από το μέσο $\displaystyle{\Delta }$ του ευθυγράμμου τμήματος $\displaystyle{K\Lambda}$ φέρνουμε την παράλληλο $\displaystyle{\Delta x}$ προς την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και έστω $\displaystyle{M}$ τυχαίο σημείο της.
Ζητείται να υπολογισθεί η ελάχιστη απόσταση των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και $\displaystyle{AM}$ .

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Στερεομετρία 75-76,1.PNG (149.37 KiB) Προβλήθηκε 2378 φορές

Στο σχήμα αυτό έχουμε το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ , την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ πάνω σ' αυτό και ένα σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός αυτού.
Η απόσταση του σημείου $\displaystyle{A}$ από το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ είναι:
$\displaystyle{AK=a\ \ (1)}$
Ακόμα η απόσταση του $\displaystyle{K}$ από την $\displaystyle{(e)}$ είναι
$\displaystyle{KL=2a \ \ (2)}$

Στη συνέχεια θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{(x)}$ πάνω στο $\displaystyle{(P)}$ η οποία είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{(e)}$ και
διέρχεται από το μέσο $\displaystyle{D}$ της $\displaystyle{KL}$ και τέλος πάνω σ' αυτήν ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ .

Προφανώς η $\displaystyle{KM}$ τέμνει την $\displaystyle{(e)}$ σε ένα σημείο έστω το $\displaystyle{S}$ για το οποίο ισχύει:
$\displaystyle{KM=MS \ \ (3)}$ .

Είναι γνωστό ότι η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα από τις ασύμβατες ευθείες $\displaystyle{(e)}$ και $\displaystyle{(AM)}$ είναι η κοινή κάθετος αυτών.

Η κοινή κάθετος κατασκευάζεται κατά τα γνωστά.
Από το σημείο $\displaystyle{L}$ της $\displaystyle{(e)}$ φέρουμε κάθετη προς το επίπεδο που ορίζεται από την $\displaystyle{(AM)}$ και την $\displaystyle{(x)}$ . Το επίπεδο αυτό $\displaystyle{p(AM,x)}$
προφανώς είναι παράλληλο προς την $\displaystyle{(e)}$ γιατί $\displaystyle{(e)//(x)}$
Παρατηρούμε ακόμα ότι το $\displaystyle{L}$ ανήκει και το επίπεδο που ορίζεται από τις $\displaystyle{(AK),(KL)}$ το $\displaystyle{p(AK,KL)}$
το οποίο είναι κάθετο στην $\displaystyle{(e)}$ και στην $\displaystyle{(x)}$ (Θεώρημα τριών καθέτων).

Επομένως η κάθετη που ζητάμε είναι η κάθετη από το $\displaystyle{L}$ προς την $\displaystyle{AD}$ , δηλαδή η $\displaystyle{LT}$ .
(Διότι η $\displaystyle{LT}$ κάθετη στην $\displaystyle{AT}$ καθώς και κάθετη στην $\displaystyle{(x')}$ , παράλληλη προς την $\displaystyle{(x)}$ )

Στο σχήμα βλέπουμε τελικά ότι η τελική θέση της κοινής αυτής καθέτου είναι η $\displaystyle{L_oT_o}$

Υπολογισμός της κοινής αυτής καθέτου
Το τετράπλευρο $\displaystyle{ALTK}$ προφανώς είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
$\displaystyle (KD)(DL)=(AD)(DL)\Rightarrow a^2=(a\sqrt{2}(DT)\Rightarrow (DT)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

και επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{AKD, LDT}$ είναι ορθογώνια και ισοσκελή τελικά θα είναι:
$\displaystyle LT=L_oT_o=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

η οποία είναι η ζητούμενη ελάχιστη απόστση των ευθειών $\displaystyle{(e), (AM)}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Θεοδωρος Παγωνης · #5

orestisgotsis έγραψε:Για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ το σύστημα έχει λύση την $\displaystyle{\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)}$

Καλημέρα Ορέστη . Το σύστημα επαληθεύεται και για άλλες τιμές των $\displaystyle{x,y,v}$ π.χ. $\displaystyle{\left( x,y,v \right)=\left( 2,4,3 \right)}$ .

orestisgotsis · #6

Περιττό

Θεοδωρος Παγωνης · #7

orestisgotsis έγραψε:
Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:
orestisgotsis έγραψε:Για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ το σύστημα έχει λύση την $\displaystyle{\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)}$
Καλημέρα Ορέστη . Το σύστημα επαληθεύεται και για άλλες τιμές των $\displaystyle{x,y,v}$ π.χ. $\displaystyle{\left( x,y,v \right)=\left( 2,4,3 \right)}$ .
Καλημέρα κ. Παγώνη.

Εκείνο που δεν καταλαβαίνω είναι το εξής:

(α) Ζητάει να βρούμε $\displaystyle{x,y>0}$ ώστε για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ να αληθεύει το σύστημα;

Ή

(β) Να βρούμε $\displaystyle{x,y>0}$ , ώστε για κάποια $\nu \in \mathbb{N}$ να αληθεύει το σύστημα;

Καλησπέρα Ορέστη. Εμένα η άσκηση μου άφησε να καταλάβω , ότι ζητάει το (β) από αυτά που αναφέρεις. Σε κάθε περίπτωση , επειδή μπορεί να κάνω και λάθος , ο κύριος Παρμενίδης ή κάποιος άλλος θα μπορούσε να το διευκρινίσει .

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^{x+y}=y^{\nu} \\ y^{x+y}=x^{2\nu}y^{\nu} \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{x>0,y>0}$ και $\displaystyle{\nu}$ φυσικός αριθμός.

την εποχή εκείνη με την παραπάνω διατύπωση ζητούσαν να λυθούν παραμετρικες ασκήσεις,
αντί να γράφουν ''για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού'' $\displaystyle{\nu}$ τότε έγραφαν ''όπου '' $\displaystyle{\nu}$ ''φυσικός αριθμός''

Θεοδωρος Παγωνης · #9

Ευχαριστώ πολύ για την διευκρίνηση κύριε Παρμενίδη.

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1975-76 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση