Συναρτησιακή εξίσωση (ιγ)

#1

Έστω $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=\alpha f(x)+xy, }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

#2

socrates έγραψε:Έστω $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=\alpha f(x)+xy, } \quad (1)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

$x=1 \quad (1)\Rightarrow f(f(y)+f(1))=af(1)+y\Rightarrow f\Big(f(y-af(1))+f(1)\Big)=y$

$f\Big(f(-af(1))+f(1)\Big)=0$ έστω f(-af(1))+f(1)=m : f(m)=0

$x=m \quad (1)\Rightarrow f(mf(y))=my\stackrel{y=0}\Longrightarrow f(mf(0))=0=f(m)$

και αφού η f:1-1

παίρνουμε $m=0 (=f(0)) \quad \eta \quad f(0)=1$

$\color{red}\bullet ...$ Αν f(0)=0

$y=0\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=af(x)\longrightarrow f(x)=ax,x\in \mathbb R$

τότε από την $(1)\Rightarrow a^2=1$

$\color{blue}\bullet ...$ Για $a=1\rightarrow f(x)=x,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική

$\color{blue}\bullet ...$ Για $a=-1\rightarrow f(x)=-x$ ,δεν ικανοποιεί.

$\color{red}\bullet ...$ Αν f(0)=1

$x=0\quad (1)\Rightarrow f(1)=a$

$y=m\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=af(x)+mx\stackrel{x=m}\Longrightarrow f(0)=m^2\Rightarrow m^2=1$

$\color{blue}\bullet ...$ Για $m=1\rightarrow f(1)=0\rightarrow a=0$ και $(1)\Rightarrow f(xf(y)+f(x))=xy\quad ,(2)$

από την τελευταία παίρνουμε: $xf(y)+f(x)=yf(x)+f(y)\Rightarrow (y-1)f(x)=(x-1)f(y)$

για $x\neq 1\rightarrow f(x)=A(x-1),A\in \mathbb R,x\in \mathbb R$

αντικαθιστώντας στην $(2)\Rightarrow A=0, A=-1$ , το A=0

απορρίπτεται αφού η μηδενική δεν ικανοποιεί τη (2)

άρα $A=-1\rightarrow f(x)=-x+1$ ,δεκτή

$\color{blue}\bullet ...$ Για $m=-1\rightarrow f(-1)=0,f(0)=1$

$y=-1\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=af(x)-x\quad ,(3)$

$x=-1\quad (1)\Rightarrow f(-f(y))=-y$

$x:=-f(x)\quad (3)\Rightarrow f(-x)=-ax+f(x)\Rightarrow f(x)-\dfrac{ax}{2}=f(-x)+\dfrac{ax}{2}$

άρα $f(x)=\dfrac{ax}{2}+1\stackrel{f(-1)=0}\Longrightarrow a=2$

επομένως $f(x)=x+1,x\in \mathbb R$ και τη δεχόμαστε.

#3

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=510977

Συναρτησιακή εξίσωση (ιγ)

Συναρτησιακή εξίσωση (ιγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιγ)

Μέλη σε σύνδεση