ημ2x=2ημxσυνx!

#1

Συχνά δημιουργούνται στους μαθητές εσφαλμένες εντυπώσεις γύρω από κάποιες μαθηματικές έννοιες. Μια από αυτές, η οποία μου έτυχε φέτος, είναι όσον αφορά τη συμπεριφορά του ημιτόνου. Συγκεκριμένα, ένας μαθητής θεώρησε ότι κάθε φορά που διπλασιάζεται μια γωνία, διπλασιάζεται και το ημίτονό της. Φυσικά υπάρχουν πολλοί τρόποι να εξηγήσουμε ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Αν όμως έχουμε να κάνουμε με απαιτητικά ακροατήρια, ίσως χρειαστέι να εξηγήσουμε τι ακριβώς συμβαίνει. Με άλλα λόγια, ίσως μπούμε στον πειρασμό να αναφερθούμε στον τύπο

$\displaystyle{\boxed{\sin 2x=2\sin x\cos x}.}$

Τότε, μάλλον θα μας ζητηθεί να δώσουμε εξηγήσεις, γιατί ισχύει αυτό.
Πώς θα το κάνουμε αυτό σε ένα τμήμα Γ' Γυμνασίου;

mathxl · #2

Θάνο καλό βράδυ!
Ενδιαφέρον θέμα!!

Αν θυμάμαι καλά στο Γυμνάσιο το μέτρο είναι μέχρι και ${360^ \circ }$ , επομένως ${0^ \circ } \leqslant x \leqslant {180^ \circ }$ .

--Αν $x = {0^ \circ }$ ή $x = {90^ \circ }$ ή $x = {180^ \circ }$ τότε με απλή αντικατάσταση των τριγωνομετρικών αριθμών τελειώσαμε.

--Αν ${0^ \circ } < x < {90^ \circ }$ τότε κατασκευάζουμε στο πρώτο τεταρτημόριο ορθογώνιο τρίγωνο $\Gamma {\rm E}{\rm B}$ με ορθή την γωνία ${\rm E}$ , το σημείο $\Gamma$ να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων και η γωνία ${\rm E}\Gamma {\rm B}$ να είναι μέτρου

.
Φέρνουμε την διάμεσο ${\rm E}\Delta = \frac{{\Gamma {\rm B}}}{2}$ . Αν ονομάσουμε $\Delta$ το μέσο του ${\Gamma {\rm B}}$ τότε ισχύει ${\rm E}\Delta = \frac{{\Gamma {\rm B}}}{2} = b = \Gamma \Delta = \Delta {\rm B}$ .

Είναι
$2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = 2 \cdot \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm B}\Gamma }} \cdot \frac{{{\rm E}\Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = 2 \cdot \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{2b}} \cdot \frac{{{\rm E}\Gamma }}{{2b}} = \frac{{{\rm E}{\rm B} \cdot {\rm E}\Gamma }}{2} \cdot \frac{1}{{{b^2}}} = \left( {{\rm E}\Gamma {\rm B}} \right) \cdot \frac{1}{{{b^2}}}$

Όμως $\left( {{\rm E}\Gamma {\rm B}} \right) = \frac{{\Gamma {\rm B} \cdot {\rm E}{\rm H}}}{2} = \frac{{2b \cdot {\rm E}{\rm H}}}{2} = b \cdot {\rm E}{\rm H}$ , όπου ${\rm E}{\rm H}$ το κάθετο τμήμα από το ${\rm E}$ προς τη ${\Gamma {\rm B}}$ .

Επομένως
$2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = b \cdot {\rm E}{\rm H} \cdot \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{{{\rm E}{\rm H}}}{b}$ .
Φέρνουμε το κάθετο τμήμα ${\rm B}{\rm Z}$ από την κορυφή ${\rm B}$ προς την διάμεσο $\Delta {\rm E}$ .

Με σύγκριση των ορθογώνιων τριγώνων $\Delta {\rm B}{\rm Z}$ , $\Delta {\rm E}{\rm H}$ έχουμε ότι είναι ίσα, επομένως : ${{\rm E}{\rm H} = {\rm B}{\rm Z}}$ .
Έχουμε:
$2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = \frac{{{\rm E}{\rm H}}}{b} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{b} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{{\rm B}\Delta }} = \eta \mu 2x$ , διότι το μέτρο της γωνίας ${\rm E}\Delta {\rm B}$ είναι

(εύκολο).

--Αν ${90^ \circ } < x < {180^ \circ }$ τότε δουλεύουμε με την παραπληρωματική της ${180^ \circ } - x$ αφού ξέρουμε ότι οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίσα ημίτονα (αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση).

Σε κάθε περίπτωση δείξαμε το ζητούμενο.
Επισυνάπτω το σχήμα και το αρχείο ggb

#3

Θάνο για οξείες γωνίες ένα επιχείρημα μπορεί να προσφέρει ο υπολογισμός του εμβαδού του τριγώνου με δύο τρόπους:

: sin2x.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 980 φορές

Μαυρογιάννης

#4

Ωραίες οι πιο πάνω απόψεις .

Για την άποψη του Νίκου πάντως το , προκύπτει αβίαστα. Όπως σε κάτι φανταστικά γκόλ με δύο απλές κινήσεις ( λέγε με Μέσι!-Μουντιάλ γαρ) .

Νίκος

makisman · #5

και μια σκέψη ακόμη ,

η OA=OBΒ=1

, $O\Delta$ είναι διχοτόμος, εύκολα δικαιολογούμε οτι sin(90-x)=cosx

σε ορθογώνιο τρίγωνο αφού για τις οξείες γωνίες του εναι $sin \varphi = cos \theta$
μετα από νόμο ημιτόνων στο OAB

, $\displaystyle{\frac{\eta \mu 2x}{AB}=\frac{\eta \mu (90-x)}{1}}\Rightarrow \frac{\eta \mu 2x}{2\eta \mu x}=\frac{\sigma \upsilon \nu x}{1}}\Rightarrow \eta \mu 2x = 2\eta \mu x \sigma \upsilon \nu x$ .

#6

Καλημέρα σε όλους.

Κάτι παρόμοιο με Εμβαδά.

$\displaystyle{(OAM) = \frac{{AM \cdot ON}}{2}}$ , $\displaystyle{(OAM) = \frac{{\rho \cdot y}}{2}}$ .

Άρα: $\displaystyle{\frac{{\rho \cdot y}}{2} = \frac{{AM \cdot ON}}{2} \Leftrightarrow \frac{{\rho \cdot y}}{2} = NA \cdot ON}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle{\eta \mu 2x = \frac{y}{\rho }}$ , απ' όπου $\displaystyle{y = \rho \eta \mu 2x}$ , $\displaystyle{AN = \rho \eta \mu x}$ και $\displaystyle{ON = \rho \sigma \upsilon \nu x}$

Από αυτές τις σχέσεις και από την (1)

έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{{{\rho ^2}\eta \mu 2x}}{2} = {\rho ^2}\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x \Leftrightarrow }$ $\boxed{\eta \mu 2x = 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x}$

: sin2x.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

#7

Σχετικές συζητήσεις έγιναν
εδώ, εδώ
και
εδώ!

#8

Δύο ακόμα προσεγγίσεις με εμβαδά για τους μαθητές του Θάνου.

Η 2η είναι η προσέγγιση του Νίκου, απλοποιημένη (πιο παιδική...)

1η ΛΥΣΗ
Για οξείες γωνίες

: 23-6-2014 Γ Γυμνασίου.jpg (10.61 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Στο ημικύκλιο ακτίνας

είναι $\displaystyle \widehat {BAC} = x \Rightarrow \widehat {BOC} = 2x$ (σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο).

Είναι $\displaystyle \eta \mu x = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BC}}{2},\;\;\sigma \upsilon \nu x = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{2}$ οπότε $\displaystyle 2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x = \frac{{AC \cdot BC}}{2} = \left( {ABC} \right)$

Επίσης, $\displaystyle \eta \mu 2x = \frac{{CD}}{{CO}} = \frac{{CD}}{1} = CD$ , οπότε $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{AB \cdot CD}}{2} = \eta \mu 2x$

Άρα $\displaystyle \eta \mu 2x = 2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x$

2η ΛΥΣΗ
Επίσης για οξείες γωνίες

: 23-6-2014 Γ Γυμνασίου β.jpg (12.65 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

To

είναι ορθογώνιο με διαστάσεις a, b

και διαγώνιο

.

Προεκτείνουμε τη

κατά ίσο τμήμα BE = b

και φέρνουμε την AE =1

και την κάθετή της

.

Τότε $\displaystyle \widehat {CAB} = \widehat {BAE} = x,\;\;\eta \mu x = b,\;\;\sigma \upsilon \nu x = a,\;\;\eta \mu 2x = CK$ , οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = ab = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x$

Επίσης, $\displaystyle \left( {CAE} \right) = \frac{{AE \cdot CK}}{2} = \frac{{\eta \mu 2x}}{2}$ και αφού $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {CAE} \right)$ (απλό…), θα είναι και $\displaystyle \eta \mu 2x = 2\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x$

ημ2x=2ημxσυνx!

ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Re: ημ2x=2ημxσυνx!

Μέλη σε σύνδεση