ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

S.E.Louridas · #1

Στερεομετρία

Δίνονται τέσσερα σημεία στον χώρο ,έστω τα Α, Β, Γ, Δ που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Δίνονται επίσης οι θετικές σταθερές κ, λ, μ, ν .
Θεωρούμε επίσης κινητό σημείο Ρ και θεωρούμε
${\rm P}{\rm A} = x,{\rm P}{\rm B} = y,{\rm P}\Gamma = z,{\rm P}\Delta = w.$
Να εξεταστεί αν μπορεί να προσδιοριστεί η θέση του Ρ ,ώστε το άθροισμα
$S\left( {x,y,z,w} \right) = \kappa x^2 + \lambda y^2 + \mu z^2 + \nu w^2$ να είναι ελάχιστο.

S.E.Louridas

Christos.N · #2

Θα προσπαθήσω να δώσω μια λύση που δεν μπορω να την ελέγξω αλλα ας ειναι μια μονο ιδεα....
Θεωρούμε την συνάρτηση $f(\vec{x})=\sum_{i=1}^{4}{f_i(\vec{x_i}-\vec{x})^2}$
όπου $\sum_{i=1}^{4}{f_i}=1$ , η αναγωγή που κάνω είναι η εξής:
α) $f_1=\frac{\kappa }{\kappa +\lambda +\mu+ \nu }$ κ.τ.λ.
β) $S(x,y,z,w)=(\kappa +\lambda+ \mu+ \nu )f(\vec{x})$
και αν η ιδεα ειναι σωστη το ελάχιστο προκύπτει στην θέση $\bar{\vec{x}}=\sum_{i=1}^{4}{f_i\vec{x_i}}$ που πρέπει να ειναι ο σταθμικός μέσος.

#3

Αν Κ σημείο του ΑΒ έτσι ώστε ΚΑ/ΚΒ=l/κ και L σημείο του CD ώστε LC/LD=n/m τότε από το θεώρημα Stewart στα τρίγωνα ΡΑΒ και ΡCD θα είναι $\displaystyle{PK^2+KA.KB=\frac{KB}{AB}PA^2+\frac{KA}{AB}PB^2=\frac{ly^2+kx^2}{k+l}}$ και αντίστοιχα για το $\displaystyle{PL}$

συνεπώς αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το $\displaystyle{(k+l)PK^2+(n+m)PL^2=pPK^2+qPL^2}$ γιατί τα υπόλοιπα μήκη είναι σταθερά (με προϋπόθεση ότι $\displaystyle{k\ne L}$ )

Πάλι με Stewart στο τρίγωνο ΡΚL θα πρέπει τελικά να ελαχιστοποιήσουμε το μήκος ΡΜ όπου Μ σημείο της KL ώστε ΜΚ/ML=q/p

το ελάχιστο μήκος είναι το 0 όταν το Ρ=Μ το οποίο προσδιορίσαμε πριν

S.E.Louridas · #4

Μαθηματική πρόθεση μου αναφερόμενος στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι να αναδειχθεί, πάντα κατά την γνώμη μου, η διερευνητική διαδικασία σαν ουσιαστικό τμήμα της λύσης ώστε αυτή να είναι πλήρης.
Συγκεκριμένα καταλήξαμε στον προσδιορισμό ΜΙΑΣ πιθανής θέσης του σημείου Ρ $\left( {{\rm P} \equiv {\rm M}} \right)$ ώστε το
$S\left( {x,y,z,w} \right) = \kappa x^2 + \lambda y^2 + \mu z^2 + \nu w^2$
να είναι ελάχιστο και τούτο επειδή θα μπορούσαμε να εργαστούμε αντί στο ζεύγος των τριγώνων
$\vartriangle {\rm P}{\rm A}{\rm B},\vartriangle {\rm P}\Gamma \Delta$
(θεώρημα Stewart και επιλογή των αντίστοιχων σημείων
${\rm K} \in {\rm A}{\rm B},L \in \Gamma \Delta$ και αντίστοιχων λόγων κ.τ.λ.) στο ζεύγος των τριγώνων
$\vartriangle {\rm P}{\rm A}\Delta ,\vartriangle {\rm P}{\rm B}\Gamma$ (θεώρημα Stewart και επιλογή των αντίστοιχων σημείων
${\rm H} \in {\rm A}\Delta ,\Theta \in \Gamma {\rm B}$ και αντίστοιχων λόγων κ.τ.λ.) ή το ζεύγος των τριγώνων
$\vartriangle {\rm P}{\rm A}\Gamma ,\vartriangle {\rm P}{\rm B}\Delta$ . Ήμαστε, λοιπόν υποχρεωμένοι να εξετάσουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και να αναζητήσουμε ,κατά κάποιο τρόπο, το ελάχιστο αυτών των ας πούμε επιμέρους ελάχιστων. Πάντως έχει ενδιαφέρον το ότι διαπιστώνει κανείς (πανέμορφη συγκυρία;), κάνοντας αντίστοιχη διαδικασία για το ζεύγος των τριγώνων $\vartriangle {\rm P}{\rm A}\Delta ,\vartriangle {\rm P}{\rm B}\Gamma$ (θεώρημα Stewart και επιλογή των αντίστοιχων σημείων ${\rm H} \in {\rm A}\Delta ,\Theta \in \Gamma {\rm B}$ και αντίστοιχων κ.τ.λ.) οι ευθείες ΗΚ, ΒΔ, LΘ, αποτελούν δέσμη και αυτό προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος του Μενελάου στα τρίγωνα
$\vartriangle {\rm A}{\rm B}\Delta ,\vartriangle \Gamma {\rm B}\Delta ,$
με βάση τους λόγους που εκ των πραγμάτων επιλέξαμε για την αντίστοιχη εφαρμογή του θεωρήματος του Stewart .
Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται επίσης θεωρώντας συνάρτηση με βάση τις αποστάσεις του από τα σημεία που ακολουθούν : A=O, B, Γ, Δ, P του χώρου RXRXR
Η διαδικασία όμως αυτή θεωρώ ότι είναι αρκετά επίπονη και μάλλον δεν έχει την προσδιοριστική ακρίβεια της Γεωμετρικής διαδικασίας.

S.E.Louridas

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση