Πρόκληση

Tolaso J Kos · #1

Και ένα αρκετα προκλητικό ολοκλήρωμα :

Να δείξετε ότι: $\displaystyle{I=\int_{25\pi/4}^{53\pi/4}\frac{dx}{\left ( 1+2^{\sin x} \right )\left ( 1+2^{\cos x} \right )}=\frac{7\pi}{4}}$

Aπό τη Σουηδία

Tolaso J Kos · #2

Επειδή το συγκεκριμένο είναι αρκετά δύσκολο και κάποιος δε βρίσκει εύκολα πάτημα όπως π.χ στις συμμετρίες θα δώσω λίγο βοήθεια.

1.Αν δηλώσουμε την υπό ολοκλήρωση με f(x)

τότε παρατηρούμε εύκολα ότι $\displaystyle{f(x+2\pi)=f(x)}$ .
2.Τώρα παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{\int_{\pi/4+3\cdot 2\pi}^{5\pi/4+6\cdot 2\pi}f(x)\, dx=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}f(x)\, dx+3\int_{0}^{2\pi}f(x)dx}$

(η παρατήρηση

είναι γνωστή πρόταση)
Νομίζω έχω βοηθήσει αρκετά. Θα χαρώ πλέον να δω κάποιον να του δώσει λύση, με ή χωρίς την υπόδειξη που έδωσα.
Καλό απόγευμα.

Tolaso J Kos · #3

Και η λύση του.
Την έχω δώσει στο mathimatikoi.org μιας και σήμερα εμφανίστηκε το ίδιο θέμα.

Ήταν ένα συναρπαστικό ολοκλήρωμα.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Επειδή το συγκεκριμένο είναι αρκετά δύσκολο

Καλύτερα να είμαστε πιο σεμνοί, χωρίς να κομίζουμε γλαύκαν εις Αθήνας.

Αντιθέτως η άσκηση είναι αρκετά απλή αλλά έχει τόση πληκτρολόγιση που δεν αξίζει τον κόπο. Η αξία της άσκησης είναι μικρότερη από την φασαρία να γραφεί αναλυτικά.

Με λίγα λόγια: Αφού $\frac {53\pi}{4}- \frac {25 \pi}{4}=7\pi$ και λόγω περιοδικότητας, ανάγουμε το ολοκλήρωμα στο διάστημα $[0, \pi]$ . Εκεί έχουμε συμμετρία και η αλλαγή μεταβλητής $y=\pi -x$ δίνει αμέσως το αποτέλεσμα.

Μ.

styt_geia · #5

Καλημέρα. Ίσως αφελής ερώτηση αλλά το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{1+2^{\cos x}} dx$

γιατί είναι

$\displaystyle \frac{\pi}{2}\frac{1}{1+2^{\cos \frac{\pi}{2}}}$ ;

Tolaso J Kos · #6

styt_geia έγραψε:Καλημέρα. Ίσως αφελής ερώτηση αλλά το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{1+2^{\cos x}} dx$

γιατί είναι

$\displaystyle \frac{\pi}{2}\frac{1}{1+2^{\cos \frac{\pi}{2}}}$ ;

Γεια σας κ. Κώστα. Καθόλου αφελής δεν είναι η ερώτηση.
Βασίζεται σε ένα θεώρημα (το οποίο χρησιμοποίησα απευθείας) το οποίο λέει:

Θεώρημα:Έστω

μια συνέχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[a, \beta]$ και η $f(x)+f(a+\beta-x)$ είναι σταθερή για κάθε $x\in [a, \beta]$ τότε το $\displaystyle{\int_{a}^{\beta}f(x)\,dx=\left ( \beta-a \right )f\left ( \frac{a+\beta}{2} \right )= \frac{\beta-a}{2} \left ( f(a)+f(\beta) \right )}$ .

Παραλείπω την απόδειξη αλλά είναι εύκολη.

Τώρα το παραπάνω είναι άμεσο για $a=\dfrac{\pi}{4}, \; \beta=\dfrac{3\pi}{4}$ .

Φυσικά το παραπάνω ολοκλήρωμα υπολογίζεται και με άλλον τρόπο (σπάσιμο για παράδειγμα στο $\pi/2$ ) αλλά το πήρα σα πρόταση για να αποφύγω πάλι κλασσικές διαδικασίες.

Ελπίζω να σας κάλυψα.

#7

styt_geia έγραψε:Καλημέρα. Ίσως αφελής ερώτηση αλλά το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{1+2^{\cos x}} dx$

γιατί είναι

$\displaystyle \frac{\pi}{2}\frac{1}{1+2^{\cos \frac{\pi}{2}}}$ ;

Υπόδειξη: Κάνε αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{y = \pi - x}$ . Αυτό που θα βρεις προσθεσέ το στο αρχικό. Θα δεις ότι ολοκληρώνεις σταθερή συνάρτηση.

styt_geia · #8

Μια χαρά. Σας ευχαριστώ.

Πρόκληση

Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Re: Πρόκληση

Μέλη σε σύνδεση