Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

#1

Η άσκηση: Να βρεθεί θετικός αριθμός

τέτοιος ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x^2+1

να χωρίζει τον κύκλο C: x^2+y^2=r^2

σε δύο χωρία, από τα οποία εκείνο που περιέχει την αρχή των αξόνων να έχει εμβαδόν ίσο με

.

Το σχήμα:

: embadon_01.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Και κάποιες παρατηρήσεις: Τα σημεία τομής του κύκλου

και της γραφικής παράστασης της

είναι τα ${\rm{A}}\bigl({-\frac{1}{2}\sqrt{-6+2\,\sqrt {5+4r^2}}\,,\,\frac{1}{2}\bigl({-1+\sqrt{5+4r^2}\,}\bigr)}\bigr)$ και ${\rm{B}}\bigl({\frac{1}{2}\sqrt{-6+2\,\sqrt {5+4r^2}}\,,\,\frac{1}{2}\bigl({-1+\sqrt{5+4r^2}\,}\bigr)}\bigr)$ , ενώ το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με

${\rm{E}}(r)=\pi\,r^2-\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}\sqrt{-6+2\,\sqrt {5+4r^2}}}^{\frac{1}{2}\sqrt{-6+2\,\sqrt {5+4r^2}}}{\sqrt{r^2-x^2}-x^2-1\,dx}\,.$

Επομένως θα πρέπει να λυθεί, ως προς

, η εξίσωση ${\rm{E}}(r)=4$ . Αλλά η μορφή που παίρνει η εξίσωση είναι τέτοια, ώστε ουσιαστικά να μην επιλύεται.

Το ερώτημα: Βλέπετε κάποιον άλλον τρόπο λύσης της άσκησης, πέρα από αυτόν που αναφέρεται παραπάνω;

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ο υπολογισμός εμβαδού ${\rm{E}}(r)$ ολοκληρώνοντας ως προς

δεν έχει σημαντική διαφορά.

BAGGP93 · #2

Γεια σου Γρηγόρη. Επίτρεψε μου να κάνω και εγώ κάποιες παρατηρήσεις.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=x^2+1}$ παρουσιάζει

ολικό ελάχιστο στο σημείο $\displaystyle{x=0}$ το $\displaystyle{f(0)=1}$ .

Έτσι, αν $\displaystyle{r\leq 1}$ , τότε το γράφημα της $\displaystyle{f}$ και ο κύκλος με εξίσωση $\displaystyle{x^2+y^2=r^2}$

εφάπτονται αν $\displaystyle{r=1}$ , ενώ, δεν έχουν κανένα κοινό σημείο αν $\displaystyle{r<1}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{r>1}$ (φαίνεται και στο σχήμα που έδωσες) .

Επίσης, λόγω συμμετρίας, περί τον άξονα των $\displaystyle{y}$

μπορούμε να γράψουμε : $\displaystyle{E(r)=\pi\,r^2-2\,\int_{0}^{\frac{1}{2}\,\sqrt{-6+2\,\sqrt{5+4\,r^2}}}\left(\sqrt{r^2-x^2}-x^2-1\right)\,dx}$

Tolaso J Kos · #3

Βαγγέλη , ωραία η ιδέα σου, αλλά και στις δύο περιπτώσεις μου φαίνεται πως η εξίσωση $\displaystyle{E(r)=4}$ δε λύνεται εύκολα.
Εκτός αν κάτι δε βλέπουμε.

BAGGP93 · #4

Και κάτι ακόμη : Θέτουμε :

$\displaystyle{a=\dfrac{\sqrt{-6+2\,\sqrt{5+4\,r^2}}}{2}}$ .

Μια αρχική της $\displaystyle{x\mapsto \sqrt{r^2-x^2}-x^2-1\,,x\in\left[-r,r\right]}$ είναι η

$\displaystyle{x\mapsto \dfrac{1}{2}\,\left(\sqrt{r^2-x^2}+r^2\,\arcsin\,\dfrac{x}{r}\right)-\dfrac{x^3}{3}-x}$ .

Πρέπει να εκμεταλευτούμε το γεγονός ότι $\displaystyle{r^2-a^2=\left(\dfrac{-1+\sqrt{5+4\,r^2}}{2}}\right)^2$ .

Επίσης, το $\displaystyle{a}$ ικανοποιεί την εξίσωση $\displaystyle{a^4+3\,a^2=r^2-1\iff a^2+3=\dfrac{r^2-1}{a^2}}$ .

Έτσι, $\displaystyle{\dfrac{a^3}{3}+a=\dfrac{a}{3}\,\left(a^2+3\right)=\dfrac{a}{3}\,\dfrac{r^2-1}{a^2}=\dfrac{r^2-1}{3\,a}$

και συνεπώς :

$\displaystyle{E(r)=4\iff \pi\,r^2-\dfrac{r}{2}+\dfrac{r^2-1}{3\,a}-\,\dfrac{\sqrt{5+4\,r^2}-1}{4}-\dfrac{r^2}{2}\,\arcsin\,\dfrac{a}{r}=4$ .

Γρηγόρη, σε αυτήν την εξίσωση καταλήγεις και εσύ ;

Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

Re: Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

Re: Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

Re: Εύρεση παραμέτρου σε εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση