Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;

Al.Koutsouridis · #1

Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB < BC)

. Στις πλευρές AB , BC

επιλέγουμε τα σημεία D, E

αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του BDE

διέρχεται από το κέντρο

του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

αν και μόνο αν AD+CE = AC

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο . Στις πλευρές επιλέγουμε τα σημεία αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του αν και μόνο αν .

Αν $Z \in AC:\left( {AZ} \right) = \left( {AD} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AC} \right) = \left( {AD} \right) + \left( {CE} \right)} \left( {CZ} \right) = \left( {CE} \right) \Rightarrow I$ το περίκεντρο του τριγώνου

$\vartriangle DEZ \Rightarrow \angle DIE = 2\left( {DZE} \right) = 2\left( {\dfrac{{\angle A}}{2} + \dfrac{{\angle C}}{2}} \right) =$ ${180^0} - \angle B \Rightarrow B,E,I,D$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω μή ισοσκελές τρίγωνο . Στις πλευρές επιλέγουμε τα σημεία αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του
αν και μόνο αν .

Καλησπέρα.

● Έστω ότι το έγκεντρο

του τριγώνου ABC

είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDE

. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID

και το γεγονός ότι η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat B$ , προκύπτει ότι $\boxed{ID=IE}$ .

Πάνω στην

παίρνω τμήμα AF=AD

, οπότε η

ως διχοτόμος είναι μεσοκάθετος του

.Άρα θα είναι και ID=IF

. Δηλαδή,

. που σημαίνει ότι το σημείο

είναι το περίκεντρο του τριγώνου DFE

.
Επομένως η

είναι μεσοκάθετος της

, άρα

.

Οπότε: $\boxed{AC=AF+FC=AD+CE}$

: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

● Έστω τώρα ότι AD+CE = AC

και ότι η διχοτόμος της γωνίας $\widehat C$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BDE

στο σημείο

. Θα δείξω ότι το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

.

: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;.2.png (17.01 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Είναι

και η

μεσοκάθετος της

.

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BEID

και από το ισοσκελές τρίγωνο CEF

έχουμε ότι: $\displaystyle{B\widehat DI = I\widehat EC = I\widehat FC}$ κι επειδή $\displaystyle{D\widehat FA = F\widehat DA \Leftrightarrow I\widehat DF = I\widehat FD}$

Άρα ID=IF

, δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος της

οπότε διχοτομεί τη $\widehat A$ και το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

.

Ηλιας Φραγκάκος · #4

ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΦΡΑΓΚΑΚΟΥ
Παίρνει ένα τυχαίο σημείο

επί της

. Με το διαβήτη ορίζει τα

και

στις

και

, αντίστοιχα. Άρα πετυχαίνει την προϋπόθεση AD+EC=AC

. Οι μεσοκάθετες των τμημάτων

και

τέμνονται στο

. Oι γωνίες ITC

και

είναι ίσες. Έστω, π. Οι παραπληρωματικές τους, δεν μπορεί παρά να είναι ίσες κι αυτές. Έστω ρ, ώστε π και ρ να μας κάνει 180 μοίρες. Έτσι, επειδή γ. ADI

είναι ίση με γ. ATI

, πρέπει και η γ. ADI

να είναι ίση με ρ. Άρα, και η παραπληρωματική της είναι π. Άρα το 4πλευρο DIEB

είναι εγγράψιμο. Αν κάποιος βρει λάθος στη λύση, να το πει.

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;

Πότε διέρχεται από το έγκεντρο;

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Re: Πότε διέρχεται από το έγκεντρο?

Μέλη σε σύνδεση