Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\begin{cases}\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{y}=\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{57}{35}\\ \\ xy=\dfrac{35}{34}(y-x)\end{cases}$

Γιώργος Απόκης · #2

Προφανώς $\displaystyle{x\ne 0,y\ne 0}$ . Έχουμε $\displaystyle{\frac{x+y}{xy}=\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}$

Eπομένως η 1η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\frac{4}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{57}{35}~\acute{\eta}~\frac{3}{x}-\frac{6}{y}=\frac{57}{35}~(1)}$

Διαιρούμε τα μέλη της 2ης εξίσωσης με $\displaystyle{xy}$ και έχουμε :

$\displaystyle{1=\frac{35}{34}\left(\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}\right)~\acute{\eta}~\frac{35}{34}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=1~\acute{\eta}~\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{34}{35}~(2)}$

Θέτουμε $\displaystyle{a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}}$ και έχουμε το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}3a-6b=\frac{57}{35} \\a-b=\frac{34}{35} \end{cases}~\acute{\eta}~\begin{cases}3a-6b=\frac{57}{35} \\-6a+6b=-\frac{204}{35} \end{cases}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{-3a=-\frac{147}{35}~\acute{\eta}~a=\frac{7}{5}}$ και με αντικατάσταση $\displaystyle{b=\frac{3}{7}}$

άρα τελικά $\displaystyle{x=\frac{5}{7},y=\frac{7}{3}}$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση