ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΒΙΕΤΝΑΜ)

nikoszan · #1

Για την συνάρτηση $f:R \to R$ ,ισχύουν
$\begin{array}{l} \bullet f\left( {{x^2} - y} \right) = xf\left( x \right) - f\left( y \right),\forall x,y \in R\\ \bullet f\left( {2014} \right) = {2014^2} \end{array}$
Να βρεθεί ο τύπος της .
Ν.Ζ.

Λάμπρος Μπαλός · #2

$f (x^{2}-y)=xf (x)-f (y)$ (1)

Η (1) για x=y=0

δίνει

.

Η ( 1 ) για y = 0

δίνει $f ( x^{2})=xf ( x )$ (***)

Οπότε $f (x^{2}-y)=f (x^{2})-f (y)$
Καλύτερα f (a-b)=f (a)-f (b)

(2) για κάθε

πραγματικό και

μη αρνητικό.

Η (1) για x=0

δίνει

δηλαδή η

είναι περιττή.

Η (1) για y=-y

δίνει $f (x^{2}+y)=f (x^{2})+f (y)$ . Καλύτερα f (a+b)=f (a)+f (b)

(3) για κάθε πραγματικό

και μη αρνητικό

.

Από (3)-(2) προκύπτει $f (x^{2}+y)-f (x^{2}-y)=2f (y)$ .

Η ιδιότητα (2) εφαρμόζεται στην τελευταία σχέση καθώς ένα εκ των $x^{2}+y$ και $x^{2}-y$ είναι μη αρνητικό. Υποθέτουμε ότι το μη αρνητικό είναι το $x^{2}+y$ οπότε είναι

f (2y)=2f (y)

.

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι το $x^{2}-y$ είναι το μη αρνητικό.

Στην (***) για $x=x^{2}+1$ έχουμε :

$f (x^{4}+2x^{2}+1)=(x^{2}+1)(f (x^{2})+f (1))$

$f (x^{4})+f (2x^{2})+f (1)=x^{2}f (x^{2})+x^{2}f (1)+f (x^{2})+f (1)$

$x^{2}f(x^{2})+2xf (x)=x^{3}f (x)+x^{2} f (1)+xf (x)$

$xf (x)=x^{2}f (1)$

f (x)=f (1) x

.

Για

προκύπτει

. Επομένως

f (x)=2014x

Διόρθωσα κάτι που ανόητα δεν πρόσεξα..

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΒΙΕΤΝΑΜ)

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΒΙΕΤΝΑΜ)

Μέλη σε σύνδεση