ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται πυραμίδα $\displaystyle{KAB\Gamma}$ . Τέμνουμε με επίπεδο τις ακμές $\displaystyle{AB,AK,A\Gamma}$ ώστε
τα δυο τμήματα στα οποία αυτή χωρίζεται να έχουν λόγο αντίστοιχα $\displaystyle{\frac{1}{2},\,\,2,\,\,\frac{1}{2}}$ .
Ποιος είναι ο λόγος των όγκων των δυο τμημάτων της πυραμίδας;

2. Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamm\Delta}$ και τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ πάνω στην μια διαγώνιο, π.χ. την $\displaystyle{A\Gamma}$ .
Από το $\displaystyle{\Sigma}$ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Να δείξετε οτι από τα τέσσερα σχηματιζόμενα παραλληλόγραμμα, τα δυο είναι ισοδύναμα.

3. Σε τραπέζιο η μικρότερη βάση $\displaystyle{AB}$ είναι $\displaystyle{16 \,\, cm}$ , η μεγαλύτερη βάση $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{44 \,\, cm}$
και οι $\displaystyle{A{\color{red}\Delta}}$ και $\displaystyle{B{\color{red}\Gamma}}$ είναι αντίστοιχα $\displaystyle{17 \,\, cm}$ και $\displaystyle{25\,\, cm}$ . Ποιο είναι το εμβαδόν του τραπεζίου;

edit
Διόρθωση τυπογραφικού στο 3ο, ευχαριστώ τον Τηλέμαχο (Κεφαλονίτη) που το πρόσεξε

#2

parmenides51 έγραψε: 3. Σε τραπέζιο η μικρότερη βάση $\displaystyle{AB}$ είναι $\displaystyle{16 \,\, cm}$ , η μεγαλύτερη βάση $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{44 \,\, cm}$
και οι $\displaystyle{A{\color{red}\Delta}}$ και $\displaystyle{B{\color{red}\Gamma}}$ είναι αντίστοιχα $\displaystyle{17 \,\, cm}$ και $\displaystyle{25\,\, cm}$ . Ποιο είναι το εμβαδόν του τραπεζίου;

: Ευελπίδων 1976.png (4.6 KiB) Προβλήθηκε 2170 φορές

Έστω

τα ύψη του τραπεζίου. Θέτω $\displaystyle{\Delta {\rm E} = x}$ , οπότε $\displaystyle{H\Gamma = 28 - x}$ . Από Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{EA\Delta ,HB\Gamma }$ έχουμε:

$\displaystyle{{\upsilon ^2} = {17^2} - {x^2},{\upsilon ^2} = {25^2} - {(28 - x)^2}}$ .

Άρα, $\displaystyle{{17^2} - {x^2} = {25^2} - {(28 - x)^2} \Leftrightarrow 289 - {x^2} = 625 - 784 + 56x - {x^2}}$

$\displaystyle{56x = 448 \Leftrightarrow x = 8cm}$ . Οπότε $\displaystyle{{\upsilon ^2} = 289 - 64 = 225 \Leftrightarrow \upsilon = 15cm}$ .

Επομένως, $\displaystyle{(AB\Gamma \Delta ) = \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta } \right) \cdot \upsilon = 30 \cdot 15 = 450c{m^2}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamm\Delta}$ και τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ πάνω στην μια διαγώνιο, π.χ. την $\displaystyle{A\Gamma}$ .
Από το $\displaystyle{\Sigma}$ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Να δείξετε οτι από τα τέσσερα σχηματιζόμενα παραλληλόγραμμα, τα δυο είναι ισοδύναμα.

Το πανεύκολο αυτό θέμα θα το λύσω μόνο και μόνο για να το δουν κάποια παιδιά , ίσως ωφεληθούν...

Είναι γνωστό ότι η διαγώνιος παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα , άρα και ισοδύναμα , τρίγωνα.

$\left(\Sigma EBZ \right)=\left(AB\Gamma \right)-\left(A\Sigma Z \right)-\left(\Gamma E\Sigma \right)=\left(A\Gamma \Delta \right)-\left(\Gamma \Sigma K \right)-\left(\Sigma AP \right)=\left(\Sigma P\Delta K \right)$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2013 9:45 pm
1. Δίνεται πυραμίδα $\displaystyle{KAB\Gamma}$ . Τέμνουμε με επίπεδο τις ακμές $\displaystyle{AB,AK,A\Gamma}$ ώστε
τα δυο τμήματα στα οποία αυτή χωρίζεται να έχουν λόγο αντίστοιχα $\displaystyle{\frac{1}{2},\,\,2,\,\,\frac{1}{2}}$ .
Ποιος είναι ο λόγος των όγκων των δυο τμημάτων της πυραμίδας;

Για να γίνει κατανοητή η λύση πρέπει πρώτα να γίνει πιο συγκεκριμένο ένα τμήμα της διατύπωσης.

Έστω $E,\Delta ,Z$ οι τομές των ακμών $KA, AB, A\Gamma$ με το επίπεδο. Σύμφωνα με τα δεδομένα ισχύει

$\displaystyle\frac{A\Delta }{\Delta B}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{AB}=\frac{1}{3}$ και

$\displaystyle\frac{AE }{KE}=2\Leftrightarrow \frac{AE }{AK}=\frac{2}{3}$ και

$\displaystyle\frac{AZ }{Z\Gamma}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{AZ }{A\Gamma}=\frac{1}{3}$

Θα εκμεταλλευτούμε το εξής θεώρημα: '' Αν δύο τετράεδρα έχουν κοινή μία από τις τρίεδρες γωνίες τους , τότε ο λόγος των όγκων τους ισούται με τον λόγο των γινομένων των ακμών της κοινής τριέδρου '' .
Βλέπε Νικολάου Α. Κισκύρα ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Βιβλίο 7ο Θεώρημα 691 σελίδα 189.

Αν ονομάσουμε

τον όγκο του τετραέδρου $AB\Gamma K$ και $V_{1}$ τον όγκο του τετραέδρου $A\Delta EZ$

ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{V_{1}}{V}=\frac{A\Delta}{AB}\cdot \frac{AE}{AK}\cdot \frac{AZ}{A\Gamma}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$

Συνεπώς $\displaystyle V_{1}=\frac{2}{27}V$ και αν $V_{2}$ ο όγκος του εναπομείναντος τμήματος του τετραέδρου $AB\Gamma K$ , μπορεί να γραφεί ότι $\displaystyle V_{2}=\frac{25}{27}V$

Ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με $\displaystyle\frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{2}{25}$

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 06, 2025 4:04 pm

parmenides51 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 22, 2013 9:45 pm
1. Δίνεται πυραμίδα $\displaystyle{KAB\Gamma}$ . Τέμνουμε με επίπεδο τις ακμές $\displaystyle{AB,AK,A\Gamma}$ ώστε
τα δυο τμήματα στα οποία αυτή χωρίζεται να έχουν λόγο αντίστοιχα $\displaystyle{\frac{1}{2},\,\,2,\,\,\frac{1}{2}}$ .
Ποιος είναι ο λόγος των όγκων των δυο τμημάτων της πυραμίδας;
Για να γίνει κατανοητή η λύση πρέπει πρώτα να γίνει πιο συγκεκριμένο ένα τμήμα της διατύπωσης.

Έστω $E,\Delta ,Z$ οι τομές των ακμών $KA, AB, A\Gamma$ με το επίπεδο. Σύμφωνα με τα δεδομένα ισχύει

$\displaystyle\frac{A\Delta }{\Delta B}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{AB}=\frac{1}{3}$ και

$\displaystyle\frac{AE }{KE}=2\Leftrightarrow \frac{AE }{AK}=\frac{2}{3}$ και

$\displaystyle\frac{AZ }{Z\Gamma}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{AZ }{A\Gamma}=\frac{1}{3}$

Θα εκμεταλλευτούμε το εξής θεώρημα: '' Αν δύο τετράεδρα έχουν κοινή μία από τις τρίεδρες γωνίες τους , τότε ο λόγος των όγκων τους ισούται με τον λόγο των γινομένων των ακμών της κοινής τριέδρου '' .
Βλέπε Νικολάου Α. Κισκύρα ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Βιβλίο 7ο Θεώρημα 691 σελίδα 189.

Αν ονομάσουμε τον όγκο του τετραέδρου $AB\Gamma K$ και $V_{1}$ τον όγκο του τετραέδρου $A\Delta EZ$

ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{V_{1}}{V}=\frac{A\Delta}{AB}\cdot \frac{AE}{AK}\cdot \frac{AZ}{A\Gamma}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$

Συνεπώς $\displaystyle V_{1}=\frac{2}{27}V$ και αν $V_{2}$ ο όγκος του εναπομείναντος τμήματος του τετραέδρου $AB\Gamma K$ , μπορεί να γραφεί ότι $\displaystyle V_{2}=\frac{25}{27}V$

Ο ζητούμενος λόγος είναι ίσος με $\displaystyle\frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{2}{27}$

Τηλέμαχε καλημέρα από Γρεβενά...

Αναρτώ ένα σχήμα καθώς και το δυναμικό του στη συνέχεια.

1η εικόνα:

: Τομή τετραέδρου 1.png (32.83 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τετράεδρο αυτό και μάλιστα οι τρεις παράπλευρες έδρες είναι σχεδιασμένες
όχι με τη γενική εντολή του λογισμικού αλλά σύμφωνα με τις παραμετρικές εξισώσεις αυτών. Για το λόγο
αυτό έχουμε τη δυνατότητα, όπως φαίνεται στο δυναμικό σχήμα, να αποκαλύπτονται "εν είδη αυλαίας".
(Αρκετά ενδιαφέρον και από μαθηματικής άποψης!)

2η εικόνα

: Τομή τετραέδρου 2.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

Στην εικόνα αυτή αποκαλύφθηκε το νέο τετράεδρο στο εσωτερικό του αρχικού τετραέδρου
το οποίο τμήθηκε με το επίπεδο $\displaystyle{(DEZ)}$

[i]Σημείωση:
Όπως και αν ληθφούν οι τρεις λόγοι επί των ακμών $\displaystyle{ AB,AC,AK}$ ο λόγος των τετραέδρων παραμένει ο ίδιος, δηλαδή οι τρεις διαφορετικές πυραμίδες που προκύπτουν με την τομήέχουν τον ίδιο όγκο, χωρίς βέβαια να είναι οι πυραμίδες αυτές ίσες, για το λόγο αυτό
και στην εκφώνηση δεν δόθηκε η λέξη "αντίστοιχα".[/i]

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα: [urlhttps://www.geogebra.org/m/hatprxry][/url]

Κώστας Δόρτσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Kώστα, σε ευχαριστώ πολύ για ό,τι έκανες για να αναδειχθεί αυτό το θέμα. Σε ευχαριστώ όχι μόνο για τον κόπο και το χρόνο που διέθεσες, αλλά για τη συνολική σου στάση απέναντι στα θέματα Στερεομετρίας που προτείνω ή λύνω.
Όταν είδα τη λύση στο Δελτίο του Πάλλα 1976, διαπίστωσα ότι το σχήμα που υπάρχει εκεί δεν βοηθά στην κατανόησή της. Τότε για μια ακόμα φορά αναγνώρισα το πόσο υποβοηθητικά είναι τα δυναμικά σχήματά σου. Ανεκτίμητα...
Η προσφορά σου εκτιμάται και από άλλους εκτός από εμένα.

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1976 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση