Παραλίγο Lagrange!

#1

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{\rm A=\{x|\exists ~a,b,c,d\in \mathbb{N}^*~\text{\gr ώστε}~x=a^2+b^2+c^2-d^2\}.}$

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\rm 1\in A,~4\in A}$

$\displaystyle{\bullet }$ $\displaystyle{\rm A=\mathbb{N}.}$

gavrilos · #2

Γεια σας κύριε Θάνο.

i) Έχουμε $\displaystyle{1+3^{2}+4^{2}-5^{2}=1}$ και $\displaystyle{2^{2}+3^{2}+4^{2}-5^{2}=4}$ .

ii) Θέτουμε $\displaystyle{a=b=1}$ .Τότε $\displaystyle{x=2+c^{2}-d^{2}}$ .Θεωρούμε περιττό θετικό ακέραιο $\displaystyle{n\geq 3}$ και θέτουμε $\displaystyle{c=\frac{n-1}{2}}$ και $\displaystyle{d=\frac{n+1}{2}}$ .

Τότε $\displaystyle{x=n+2}$ .Επομένως κάθε περιττός θετικός ακέραιος $\displaystyle{\geq 5}$ γράφεται στη μορφή αυτή.

Αν θέσουμε $\displaystyle{b=2}$ και δουλέψουμε όμοια θα πάρουμε $\displaystyle{x=n+5}$ επομένως κάθε άρτιος θετικός ακέραιος $\displaystyle{\geq 8}$ γράφεται σ' αυτή τη μορφή.

Ακόμη $\displaystyle{1,4\in A}$ ενώ $\displaystyle{2=1^{2}+1^{2}+1^{2}-1^{2}}$ και $\displaystyle{3=2^{2}+2^{2}+2^{2}-3^{2}}$ και $\displaystyle{6=2^{2}+3^{2}+3^{2}-4^{2}}$ .

Συνεπώς όλοι οι θετικοί ακέραιοι γράφονται στη μορφή αυτή κι έτσι $\displaystyle{A=N^{*}}$ .

#3

Μια παρόμοια ιδέα:

Για $n\leq 6$ βρίσκουμε εύκολα τέτοιες παραστάσεις.

Για n>3

περιττό γράφουμε

$n=1^2+1^2+\left(\dfrac{n-1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{n-3}{2}\right)^2$ .

Για n=4k+2

για κάποιο $k\geq 2$ γράφουμε

n=1^2+1^2+(k+1)^2-(k-1)^2

.

Για

, με $k\not \equiv 0 \pmod{4}$ και $m\geq 0$ , παρατηρούμε ότι από τις προηγούμενες περιπτώσεις έχουμε

k=a^2+b^2+c^2-d^2

για κάποια $a,b,c,d\in \mathbb{N}^*$ , οπότε

n=(2^ma)^2+(2^mb)^2+(2^mc)^2-(2^md)^2

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παραλίγο Lagrange!

Παραλίγο Lagrange!

Re: Παραλίγο Lagrange!

Re: Παραλίγο Lagrange!

Μέλη σε σύνδεση