Τρεις κάθετες και μια ευθεία

[AIAS]

Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο του επιπέδου του .

Οι κάθετες στο στις τέμνουν τις ευθείες στα σημεία . Να δειχθεί ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο του επιπέδου του . Οι κάθετες στο στις τέμνουν τις ευθείες στα σημεία . Να δειχθεί ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά .

Είναι γνωστό από το παρελθόν το όμορφο (και δύσκολο αυτό πρόβλημα) και αφού παρήλθε το 48ωρο ας γράψω τη λύση που γνωρίζω

Τρεις κάθετες και μια ευθεία.png (35.11 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Έστω το συζυγές του τριγώνου ως προς τυχόντα κύκλο (κέντρου ) (δηλαδή το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις τομές των πολικών

των κορυφών του τριγώνου ως προς τον κύκλο ).

Τότε . Με να είναι το σημείο τομής των πολικών των ως προς τον κύκλο προκύπτει ότι

η θα είναι η πολική του ως προς τον , άρα η πολική του ως προς τον θα διέρχεται από το και θα είναι κάθετη στην

και με προκύπτει τελικά ότι η πολική του ως προς τον κύκλο θα είναι η ευθεία του ύψους του τριγώνου .

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι οι ευθείες των υψών του τριγώνου είναι οι πολικές των σημείων αντίστοιχα και συνεπώς τα σημεία

ανήκουν στην πολική του ορθοκέντρου του τριγώνου ως προς τον κύκλο (δηλαδή είναι συνευθειακά) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

[Antonis_Z]

Ωραία η λύση του κύριου Στάθη!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μια διαφορετική λύση πάει ως εξής: κτλ.Θέλουμε να ισχύει το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο για τη διατέμνουσα .Πολλαπλασιάζουμε τις 3 σχέσεις και χρησιμοποιώντας τις καθετότητες του προβλήματος βγαίνει το γινόμενο των λόγων 1...