Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1461

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 477:

Το συνημμένο EIS 1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{xy}$ θεωρούμε ένα σημείο $\displaystyle{A}$ και από αυτό φέρνουμε μια ημιευθεία $\displaystyle{Az}$ κάθετη στην $\displaystyle{xy}$ . Με κέντρο τυχαίο σημείο $\displaystyle{B}$

της $\displaystyle{Ax}$ και ακτίνα $\displaystyle{p>AB}$ , γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών $\displaystyle{yAz}$ και $\displaystyle{xAz}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{D}$ αντιστοίχως.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BDE}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Καλημέρα .

: 477.png (22.56 KiB) Προβλήθηκε 3451 φορές

Οι

τέμνονται κάθετα ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών.

Αν η

στην προέκτασή της προς το

τμήσει τον κύκλο στο

, το τρίγωνο AEZ

είναι ισοσκελές ορθογώνιο .

Αυτό γιατί η ευθεία της διαμέτρου που διέρχεται από τα A,B

είναι άξονας συμμετρίας , στο τρίγωνο AEZ

.

Θα είναι έτσι $\widehat Z = {45^0}$ και άρα η αντίστοιχη επίκεντρος : $D\widehat BE = 2 \cdot {45^0} = {90^0}$ .

Φιλικά Νίκος

#1462

ΑΣΚΗΣΗ 478:

: EIS 2.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 3431 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{D , E}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AC}$ αντιστοίχως. Η από το $\displaystyle{D}$ κάθετη

στην διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{C}$ τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $\displaystyle{H}$ και η από το $\displaystyle{H}$ παράλληλη με την $\displaystyle{BC}$ τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $\displaystyle{I}$ .

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BEI}$ είναι ισοσκελές.

p_gianno · #1463

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 477:

Το συνημμένο EIS 1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{xy}$ θεωρούμε ένα σημείο $\displaystyle{A}$ και από αυτό φέρνουμε μια ημιευθεία $\displaystyle{Az}$ κάθετη στην $\displaystyle{xy}$ . Με κέντρο τυχαίο σημείο $\displaystyle{B}$

της $\displaystyle{Ax}$ και ακτίνα $\displaystyle{p>AB}$ , γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών $\displaystyle{yAz}$ και $\displaystyle{xAz}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{D}$ αντιστοίχως.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BDE}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Τριγ

ανάκλαση του τργ DAE

. Συνεπώς

άρα $\tau o \xi DE=\tau o \xi ZH$

Από γωνία τεμνομένων χορδών έχουμε

90^0

=γων $DAE=( \tau o \xi DE+\tau o \xi ZH):2=\tau o \xi DE=\angle DBE$

#1464

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 478:

Το συνημμένο EIS 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{D , E}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AC}$ αντιστοίχως. Η από το $\displaystyle{D}$ κάθετη

στην διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{C}$ τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $\displaystyle{H}$ και η από το $\displaystyle{H}$ παράλληλη με την $\displaystyle{BC}$ τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $\displaystyle{I}$ .

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BEI}$ είναι ισοσκελές.

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά στις Μαρίες και τις Δέσποινες.

: 478.png (48.72 KiB) Προβλήθηκε 3362 φορές

Έστω

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την

.

Είναι προφανώς : $\boxed{BD = BZ\,\,\,(1)}$ ως εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο απ το ίδιο σημείο

, για όμοιους δε λόγους, $CE = CZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD = AE$

Επειδή οι $EZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DH$ είναι κάθετες στην διχοτόμο της γωνίας

θα είναι μεταξύ τους παράλληλες και άρα το τετράπλευρο DEZH

είναι ισοσκελές τραπέζιο , οπότε

$\,DE = HZ\,\,(2)$ . Επειδή η χορδή HI//BC

το

είναι μέσο του τόξου ${\rm T}o\xi HZI$ και άρα $HZ = ZI\,\,\,(3)$ . Από τις (2),(3)

προκύπτει η ισότητα : $\boxed{DE = IZ} = ZH\,\,\,(4)$ .

Από την προηγούμενη ισότητα έχουμε $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα . Αλλά $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{a_2}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{a_1}}$ ( υπό χορδής κι εφαπτομένης στο άκρο της ) άρα

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow \boxed{B\widehat DE = B\widehat ZI}\,\,(5)$ Οι σχέσεις (1),(4),(5)

μας εξασφαλίζουν λόγω του κριτηρίου $\Pi - \Gamma - \Pi$ ότι τα τρίγωνα $DBE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ZBI$ είναι ίσα,

άρα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ένα προς ένα ίσα , δηλαδή BE = BI

. ο .ε .δ.

Φιλικά Νίκος

p_gianno · #1465

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 477:

Το συνημμένο EIS 1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{xy}$ θεωρούμε ένα σημείο $\displaystyle{A}$ και από αυτό φέρνουμε μια ημιευθεία $\displaystyle{Az}$ κάθετη στην $\displaystyle{xy}$ . Με κέντρο τυχαίο σημείο $\displaystyle{B}$

της $\displaystyle{Ax}$ και ακτίνα $\displaystyle{p>AB}$ , γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών $\displaystyle{yAz}$ και $\displaystyle{xAz}$ στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{D}$ αντιστοίχως.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BDE}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

'Αλλη μια αντιμετώπιση

Θεωρώ τον περιγεγραμμένο κύκλο του τργ DAE

τον οποίο τέμνει η

ή

στο σημείο

.

Επειδή

διχοτόμος της εξωτερικής γων

έχουμε $\tau o \xi DB’=\tau o \xi B’E$ συνεπώς

DB’=B’E

άρα

σημείο της μεσοκαθέτου της

επί της

.(1)

Από υπόθεση - κατασκευή DB=BE=p

συνεπώς

σημείο της μεσοκαθέτου της

επί της

. (2)

Από (1) και (2) παίρνουμε $B’\equiv B$ δηλ

σημείο του κύκλου (DAE)

οπότε $\angle DBE=\tau o \xi DE=\angle DAE=90^0$

#1466

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά Παναγιώτη για την ονομαστική σου εορτή .

Πολύ ωραία ή πιο πάνω λύση

Νίκος

#1467

ΑΣΚΗΣΗ 479: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ , ώστε οι αριθμοί: $\displaystyle{n^2 +4n+7 , 7n-11 , 5n^3 +6}$ , να είναι όλοι πρώτοι.

Αρχιμήδης 6 · #1468

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 479: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ , ώστε οι αριθμοί: $\displaystyle{n^2 +4n+7 , 7n-11 , 5n^3 +6}$ , να είναι όλοι πρώτοι.

Έστω ότι οι 7n-11

,

είναι πρώτοι τότε το άθροισμα τους θα είναι άρτιος δεδομένου ότι κανένας τους δεν μπορεί να ισούται με

.

για κάθε φυσικό

. Αντίφαση.

#1469

ΑΣΚΗΣΗ 480: Να βρεθούν οι ακέραιοι και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ , αν $\displaystyle{b^2 +ab =5(a-1)}$

#1470

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 480: Να βρεθούν οι ακέραιοι και θετικοί αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ , αν $\displaystyle{b^2 +ab =5(a-1)}$

ΛΥΣΗ
Η σχέση γίνεται
$\displaystyle{b^2 +ab =5(a-1)}\Leftrightarrow b^2+5=5a-ab\Leftrightarrow b^2+5=a(5-b)$ (1)

.
Άρα το

θα πάρει τιμές b=1,2,3,4,5

.
Για

,η

αδύνατη.
Για b=1

,από

προκύπτει $a=\frac{3}{2}$ , απορρίπτεται.
Για b=2

,από

προκύπτει

, δεκτή.
Για b=3

,από

προκύπτει

, δεκτή.
Για b=4

,από

προκύπτει

, δεκτή.

#1471

ΑΣΚΗΣΗ 481: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{n^n +n+7 , 2n+9 , 3n^2 +7n+5 , n^3 -39n+73}$ είναι όλοι πρώτοι, να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$

#1472

ΑΣΚΗΣΗ 482 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ και πάνω στην διαγώνιο $\displaystyle{AC}$ παίρνουμε ένα σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε να

είναι $\displaystyle{AE=AB}$ . Η ευθεία $\displaystyle{DE}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{F}$ . Αν $\displaystyle{EF=BC}$ να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AC}$ και

$\displaystyle{DF}$ τέμνονται καθέτως.

: EISAG.png (4.55 KiB) Προβλήθηκε 3191 φορές

#1473

ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΙ
ΑΝΕΒΑΣΑ ΕΔΩ
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=732
ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΕ ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ.

ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΘΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΑΡΞΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΧΡΟΝΙΑΣ
σας εύχομαι τα καλύτερα

#1474

xr.tsif έγραψε:ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΙ
ΑΝΕΒΑΣΑ ΕΔΩ
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=732
ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΕ ΔΙΑΓΩΝΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ.

ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΘΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΑΡΞΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΧΡΟΝΙΑΣ
σας εύχομαι τα καλύτερα

Ευχαριστούμε θερμά Χρήστο...
Καλή χρονιά!

#1475

Ένα μεγάλο ευχαριστώ Χρήστο για την προσφορά σου.

#1476

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 482 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ και πάνω στην διαγώνιο $\displaystyle{AC}$ παίρνουμε ένα σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε να

είναι $\displaystyle{AE=AB}$ . Η ευθεία $\displaystyle{DE}$ τέμνει την προέκταση της $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{F}$ . Αν $\displaystyle{EF=BC}$ να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AC}$ και

$\displaystyle{DF}$ τέμνονται καθέτως.

Το συνημμένο EISAG.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλησπέρα.

Τα τρίγωνα AEF, ABC

έχουν:

και τη γωνία $E\widehat AB$ κοινή. Άρα θα είναι

$A\widehat EF=C\widehat BA$ ή $A\widehat EF+C\widehat BA=180^0$

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν είναι $\boxed{A\widehat EF=90^0}$

: EISAG-482.png (9.14 KiB) Προβλήθηκε 3053 φορές

#1477

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 481: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{n^n +n+7 , 2n+9 , 3n^2 +7n+5 , n^3 -39n+73}$ είναι όλοι πρώτοι, να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$

Αν

=πολ.3 τότε 2n+9=

πολ.3 και

οπότε δεν είναι πρώτος.

Αν n=πολ.3+1 τότε 3n^2 +7n+5=

πολ.3 και

οπότε δεν είναι πρώτος.

Αν n=πολ.3-1 τότε n^3 -39n+73=

πολ.3 οπότε, αφού είναι πρώτος, θα είναι n^3 -39n+73=3

και άρα

ή

Για

ο αριθμός

είναι σύνθετος, άρα απορρίπτεται.

Για n=2

οι αριθμοί $\displaystyle{n^n +n+7 , 2n+9 , 3n^2 +7n+5 , n^3 -39n+73}$ είναι πρώτοι, οπότε είναι η μοναδική λύση.

#1478

ΑΣΚΗΣΗ 483: Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=90^o}$ . Το ύψος $\displaystyle{AD}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{BE}$ τέμνονται στο $\displaystyle{Z}$ . Από το $\displaystyle{Z}$ φέρνουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{AC}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{H}$ . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AZHE}$ είναι ρόμβος.

: ΑΣΚ ΜΑΘ..png (3.32 KiB) Προβλήθηκε 2996 φορές

#1479

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 483: Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=90^o}$ . Το ύψος $\displaystyle{AD}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{BE}$ τέμνονται στο $\displaystyle{Z}$ . Από το $\displaystyle{Z}$ φέρνουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{AC}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{H}$ . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AZHE}$ είναι ρόμβος.

Το συνημμένο ΑΣΚ ΜΑΘ..png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλημέρα.

Η

τέμνει την

στο

, οπότε $\displaystyle{HK||AC \Leftrightarrow HK \bot AB}$ , κι επειδή η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat B$ , θα είναι ZK=ZD

και

.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ZDH, ZKA

είναι ίσα (έχουν ZK=ZD

και τις κατακορυφήν γωνίες ίσες). Άρα $\displaystyle{KA = DH \Leftrightarrow BA = BH}$

: EISAG-483.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 2970 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα BAE, BHE

είναι ίσα (έχουν BA=BH

, την υποτείνουσα κοινή και $\widehat B_1=\widehat B_2$ ). Άρα $\boxed{EA=EH}$ και $E\widehat HB=90^0$ , δηλαδή $\boxed{EH||AZ}$ .
Οπότε το AZHE

είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει τις διαδοχικές πλευρές EA,EH

ίσες, θα είναι ρόμβος.

#1480

ΑΣΚΗΣΗ 484: Δίνεται μια οξεία γωνία $\displaystyle{xOy}$ και έστω $\displaystyle{A}$ σημείο της $\displaystyle{Ox}$ . Από το $\displaystyle{A}$ φέρνουμε την κάθετη στην $\displaystyle{Ox}$ η οποία τέμνει την $\displaystyle{Oy}$ στο σημείο $\displaystyle{B}$ . Στο εσωτερικό της γωνίας $\displaystyle{xOy}$ θεωρούμε ημιευθεία $\displaystyle{Oz}$ που τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{C}$ . Από το $\displaystyle{B}$ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ που τέμνει την $\displaystyle{Oz}$ στο $\displaystyle{D}$ .
Αν $\displaystyle{OB=\frac{CD}{2}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\widehat{xOz} =\frac{\widehat{zOy}}{2}}$ .

: EISQGVGH.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 2911 φορές

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση