Άσκηση διαιρετών

Axiolipitos94 · #1

4) Έστω $n={{2}^{a}}\centerdot {{3}^{b}}$ με $a,b\ge 0,a,b\in \mathbb{Z}$ .
(i) Βρείτε τους διαιρέτες του n.
(ii) Δείξτε ότι είναι πλήθους (a + 1)(b + 1)

.

ΛΥΣΗ
i) Οι διαιρέτες του n είναι οι όροι του αθροίσματος του γινομένου ${{2}^{i}}\centerdot {{3}^{j}}$ ,δηλαδή $\sum\limits_{i=0}^{a}{\sum\limits_{j=0}^{b}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}$

ii) Ισχύει :

$\sum\limits_{i=0}^{a}{\sum\limits_{j=0}^{b}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}=(1+2+{{2}^{2}}+...+{{2}^{a}})(1+3+{{3}^{2}}+...+{{3}^{b}})$ (1)

Άμα βάλω όπου ${{2}^{i}}=1$ και όπου ${{3}^{j}}=1$ , θα έχω το πλήθος των διαιρετών του n.
Άρα από (1) :
$(1+1+...+1)(1+1+...+1)=(\alpha +1)(b+1)$

Πιστεύεται ότι έχει κάποιο λάθος;

#2

Axiolipitos94 έγραψε:4) Έστω $n={{2}^{a}}\centerdot {{2}^{b}}$ με $a,b\ge 0,a,b\in \mathbb{Z}$ .
(i) Βρείτε τους διαιρέτες του n.
(ii) Δείξτε ότι είναι πλήθους .

ΛΥΣΗ
i) Οι διαιρέτες του n είναι οι όροι του αθροίσματος του γινομένου ${{2}^{i}}\centerdot {{3}^{j}}$ ,δηλαδή $\sum\limits_{i=0}^{a}{\sum\limits_{j=0}^{b}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}$

ii) Ισχύει :

$\sum\limits_{i=0}^{a}{\sum\limits_{j=0}^{b}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}=(1+2+{{2}^{2}}+...+{{2}^{a}})(1+3+{{3}^{2}}+...+{{3}^{b}})$ (1)

Άμα βάλω όπου ${{2}^{i}}=1$ και όπου ${{3}^{j}}=1$ , θα έχω το πλήθος των διαιρετών του n.
Άρα από (1) :
$(1+1+...+1)(1+1+...+1)=(\alpha +1)(b+1)$

Πιστεύεται ότι έχει κάποιο λάθος;

Μάλλον εννοείς $\displaystyle{n=2^a3^b}$

Στο πρώτο δεν καταλαβαίνω τι λες. Πάντως η απάντηση είναι προφανέστατη. Σκέψου π.χ. ποιοι είναι οι διαιρέτες του $\displaystyle{2^53^6}$ ;
Όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, πάλι δεν είμαι σίγουρος τι εννοείς όταν θέτεις $\displaystyle{2^i=1}$ κτλ.
Πάντως, η απάντηση στο 2ο ερώτημα βασίζεται στην πολλαπλασιαστική αρχή.

#3

Axiolipitos94 έγραψε: Πιστεύεται ότι έχει κάποιο λάθος;

Αντίθετα, πρόκειται για πάρα πολύ λάθος Μαθηματικά.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια με συγκεκριμένα νούμερα, π.χ. $a=3, \, b=2$ για να δεις τι γίνεται. Από εκεί να γενικεύσεις. (Ουσιαστικά επαναλαμβάνω αυτό που σου πρότεινε ο Θάνος παραπάνω.)

Σου έχουμε συστήσει πολλές φορές στο φόρουμ ότι χωρίς ουσιαστική προσπάθεια από μέρους σου, ιδίως για απλά θέματα, δεν θα μάθεις ποτέ Μαθηματικά. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε και για τώρα η καλύτερη βοήθεια που μπορούμε να δώσουμε είναι η συμβουλή να επεξεργάζεσαι τα θέματα που μελετάς και να ξεκαθαρίζεις πιο είναι το ζητούμενο.

Axiolipitos94 · #4

Θα πάρω μία ειδική περίπτωση:

i) Για παράδειγμα : $n={{2}^{2}}{{3}^{3}}$
Οι διαιρέτες του n με το μάτι είναι οι :
${{1,3,3}^{2}}{{,3}^{3}}{{,2,2}^{2}},2\bullet {{3,2}^{2}}3,2\bullet {{3}^{2}}{{,2}^{2}}{{3}^{2}},2\bullet {{3}^{3}}{{,2}^{2}}{{3}^{3}}$
Με τον τρόπο μου :
$\sum\limits_{i = 0}^2 {\sum\limits_{j = 0}^3 {{2^i}{3^j}} } = (1 + 3 + {3^2} + {3^3}) + (2 + 2 \bullet 3 + 2 \bullet {3^2} + 2 \bullet {3^3}) + ({2^2} + {2^2} \bullet 3 + {2^2} \bullet {3^2} + {2^2} \bullet {3^3})$

Άρα οι διαιρέτες του n είναι οι όροι του αθροίσματος του γινομένου ${{2}^{2}}{{3}^{3}}$ δηλαδή $\sum\limits_{i=0}^{2}{\sum\limits_{j=0}^{3}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}$

ii) $\sum\limits_{i=0}^{2}{\sum\limits_{j=0}^{3}{{{2}^{i}}{{3}^{j}}=(1+2+{{2}^{2}})(1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}})=1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+2+2\bullet 3+2\bullet {{3}^{2}}+2\bullet {{3}^{3}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}\bullet 3+{{2}^{2}}\bullet 3{}^{2}+{{2}^{2}}\bullet {{3}^{3}}}}$

Αντιστοιχώ στον κάθε διαιρέτη το 1 και ύστερα αθροίζω τις μονάδες για να βρω το πλήθος των διαιρετών :

$\underset{1}{\mathop{1}}\,+\underset{1}{\mathop{3}}\,+\underset{1}{\mathop{{{3}^{2}}}}\,+\underset{1}{\mathop{{{3}^{3}}}}\,+\underset{1}{\mathop{2}}\,+\underset{1}{\mathop{2\bullet 3}}\,+\underset{1}{\mathop{2\bullet {{3}^{2}}}}\,+\underset{1}{\mathop{2\bullet {{3}^{3}}}}\,+\underset{1}{\mathop{{{2}^{2}}}}\,+\underset{1}{\mathop{{{2}^{2}}\bullet 3}}\,+\underset{1}{\mathop{{{2}^{2}}\bullet 3{}^{2}}}\,+\underset{1}{\mathop{{{2}^{2}}\bullet {{3}^{3}}}}\,=(1+1+1)(1+1+1+1)$

Στην συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει :
(1+1+1)(1+1+1+1)=12

διαιρέτες έχει το ${{2}^{2}}{{3}^{3}}$ .

Άρα δεν νομίζω να έχει κάποιο λάθος αυτό που έγραψα πιο πάνω,αν όμως έχει λάθος πέστε μου που έχω λάθος για να καταλάβω.

#5

Axiolipitos94 έγραψε: Με τον τρόπο μου :
$\sum\limits_{i = 0}^2 {\sum\limits_{j = 0}^3 {{2^i}{3^j}} } = (1 + 3 + {3^2} + {3^3}) + (2 + 2 \bullet 3 + 2 \bullet {3^2} + 2 \bullet {3^3}) + ({2^2} + {2^2} \bullet 3 + {2^2} \bullet {3^2} + {2^2} \bullet {3^3})$

Άκρως περιττό αυτό το βήμα.

Axiolipitos94 έγραψε:Άρα οι διαιρέτες του n είναι οι όροι του αθροίσματος του γινομένου ${{2}^{2}}{{3}^{3}}$ δηλαδή $\sum\limits_{i=0}^{2}{\sum\limits_{j=0}^{3}{{{2}^{i}}}}\centerdot {{3}^{j}}$

Λίγες γραμμές πιο πάνω είχες γράψει όλους τους διαιρέτες. Από εκεί τους μετράμε!

Κάνεις τα πανεύκολα, δύσκολα γι' αυτό πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό, ιδίως στο βήμα:

Axiolipitos94 έγραψε:
Αντιστοιχώ στον κάθε διαιρέτη το 1 και ύστερα αθροίζω τις μονάδες για να βρω το πλήθος των διαιρετών :

Axiolipitos94 έγραψε:Άρα δεν νομίζω να έχει κάποιο λάθος αυτό που έγραψα πιο πάνω,αν όμως έχει λάθος πέστε μου που έχω λάθος για να καταλάβω.

Δεν έχει λάθος αλλά είναι απίστευτα κακός τρόπος να κάνεις μία πανεύκολη μέτρηση.

Άσκηση διαιρετών

Άσκηση διαιρετών

Re: Άσκηση διαιρετών

Re: Άσκηση διαιρετών

Re: Άσκηση διαιρετών

Re: Άσκηση διαιρετών

Μέλη σε σύνδεση