Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

alcamus06 · #1

Καλημέρα σε όλους. Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου.
Δίνεται συνάρτηση : $f(x)=-\ln (\sqrt{x+3}+1)$
Ζητείται να βρεθεί 1)η αντίστροφη της {f}

(οκ) , 2) να λυθεί η εξίσωση ${f^{-1}(x)=1}$ (οκ) και
η απορία μου είναι 3) πως γίνεται να βρω κοινά σημεία της ${C_f}$ με την ευθεία {y=x.}

Γίνεται να λυθεί το 3 αν κάποιος γνωρίζει μόνο μονοτονία , 1-1 και αντίστροφη ;Ευχαριστώ

MarKo · #2

Για να βρεις τα κοινά σημεία λύνεις την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = x}$ με $\displaystyle{x \geqslant - 3}$ .

Οπότε κατά τα γνωστά θεωρείς την $\displaystyle{g\left( x \right) = x - f\left( x \right)}$ , $\displaystyle{x \geqslant - 3}$
και από μονοτονία και σύνολο τιμών βρίσκεις
ότι έχει μοναδική λύση.

Εννοείς άλλο τρόπο χωρίς σύνολο τιμών ή bolzano , ή να βρούμε την αριθμητική λύση;

Υ.Γ. Διόρθωση Latex

alcamus06 · #3

MarKo έγραψε: g(x)=x-f(x) , χ>=-3 και από μονοτονία και σύνολο τιμών βρίσκεις
ότι έχει μοναδική λύση.

Εννοείς άλλο τρόπο χωρίς σύνολο τιμών ή bolzano , ή να βρούμε την αριθμητική λύση;

Συμφωνώ με αυτό αλλά η εκφώνηση της άσκησης έλεγε να βρεθούν τα σημεία τομής. Όχι να δείξεις ότι υπάρχουν σημεία τομής.
Αυτό είναι και εμένα το πρόβλημά μου. Γίνεται να λυθεί η εξίσωση αυτή και να βρεις κοινό σημείο ή είναι λάθος της εκφώνησης
και έπρεπε να λέει να δείξουμε ότι έχουν κοινά σημεία.

MarKo · #4

alcamus06 έγραψε: Συμφωνώ με αυτό αλλά η εκφώνηση της άσκησης έλεγε να βρεθούν τα σημεία τομής. Όχι να δείξεις ότι υπάρχουν σημεία τομής.
Αυτό είναι και εμένα το πρόβλημά μου. Γίνεται να λυθεί η εξίσωση αυτή και να βρεις κοινό σημείο ή είναι λάθος της εκφώνησης
και έπρεπε να λέει να δείξουμε ότι έχουν κοινά σημεία.

Η λύση που δίνει το worfram είναι $\displaystyle{x = - 0.9}$

Όταν καλούμαστε να λύσουμε μια εξίσωση δεν είναι απαραίτητο να βρούμε την αριθμητική λύση της.
Χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα της ανάλυσης και δείχνουμε την ύπαρξη της λύσης.

Στα σχολικά μαθηματικά νομίζω ότι πρέπει να προσέχουμε τις διατυπώσεις των ασκήσεων για να μην μπερδεύουμε του μαθητές.
Συμφωνώ οτι η άσκηση έπρεπε να λέει να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο τομής.

Tolaso J Kos · #5

Συμφωνώ με το Μάριο,
ουσιαστικά η εξίσωση που καλούμαστε να λύσουμε είναι η :
$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=x &\iff \ln \left ( \sqrt{x+3}+1 \right )=-x \\ &\iff \sqrt{x+3}+1=e^{-x}\\ &\iff x+3=\left ( e^{-x}-1 \right )^2\\ \end{aligned}}$

η οποία δε νομίζω να λύνεται με στοιχειώδη μέσα.

Πιστεύω και γω πως η εκφώνηση θα πρεπε να είναι "Δείξτε ότι έχει μοναδική ρίζα ...."
Επίσης, εν αντιθέση με το Μάριο είχα θεωρήσει τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-x, \; x \geq -3$ η οποία είναι γνήσια φθίνουσα , βρήκα το σύνολο τιμών και στη συνέχεια είδα ότι το

ανήκει σε αυτό άρα η εξίσωση f(x)=x

έχει μοναδική ρίζα (στη δική μου περίπτωση είναι θετική, ενώ στου Μάριου είναι αρνητική)

Τώρα ποια είναι η ακριβή τιμή της ρίζας είναι άλλη υπόθεση.

MarKo · #6

Tolaso J Kos έγραψε:Συμφωνώ με το Μάριο,
ουσιαστικά η εξίσωση που καλούμαστε να λύσουμε είναι η :
$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=x &\iff \ln \left ( \sqrt{x+3}+1 \right )=-x \\ &\iff \sqrt{x+3}+1=e^{-x}\\ &\iff x+3=\left ( e^{-x}-1 \right )^2\\ \end{aligned}}$

η οποία δε νομίζω να λύνεται με στοιχειώδη μέσα.

Πιστεύω και γω πως η εκφώνηση θα πρεπε να είναι "Δείξτε ότι έχει μοναδική ρίζα ...."
Επίσης, εν αντιθέση με το Μάριο είχα θεωρήσει τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-x, \; x \geq -3$ η οποία είναι γνήσια φθίνουσα , βρήκα το σύνολο τιμών και στη συνέχεια είδα ότι το ανήκει σε αυτό άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα (στη δική μου περίπτωση είναι θετική, ενώ στου Μάριου είναι αρνητική)

Τώρα ποια είναι η ακριβή τιμή της ρίζας είναι άλλη υπόθεση.

Την ίδια λύση βρίσκουμε.
Απλώς έχεις θεωρήσει την g με αντίθετο πρόσημο.
Το επισημαινω για να μην θεωρήσει κανείς ότι το θετική ή αρνητική πηγαίνει στην λύση της εξίσωσης .

Γιώργος Απόκης · #7

Απλά να συμπληρώσω την παραπάνω συζήτηση με ένα σχήμα

Tolaso J Kos · #8

MarKo έγραψε:
Την ίδια λύση βρίσκουμε.

Έχεις δίκιο...Εφτιαξα λάθος το σχήμα στο $\rm{Geogebra}$ .
Ζητώ συγνώμη!

alcamus06 · #9

Ευχαριστώ πολύ όλους για τις απαντήσεις σας. Συμφωνώ πως η εκφώνηση πρέπει να ήταν λανθασμένη. Απλά ήθελα να ξέρω μήπως μου ξεφεύγει κάτι και δεν μπορώ να βρω ακριβώς τις λύσεις της εξίσωσης αυτής. Τέλος , δεν θυμάμαι που βρήκα την άσκηση προχθές. αν θυμηθώ θα το αναφέρω. και πάλι ευχαριστώ πολύ.

Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Re: Μια απορία σε άσκηση της Γ λυκείου, Cf με y=x

Μέλη σε σύνδεση