Σχετικα με τις αποδειξεις

Tarwen · #1

Καλημέρα σας και καλή εβδομάδα,

Έχω αρχίσει λοιπόν την άλγεβρα Α λυκείου. Όλα καλά, κανένα πρόβλημα στις πιθανότητες έχω προχωρήσει στο κεφάλαιο 2 Πραγματικοί αριθμοί. Το πρόβλημα μου είναι το ίδιο με τότε που ήμουν μαθητής:

Βρίσκομαι στην σελίδα 50 του σχολικού βιβλίου οπού μετά από μια εισαγωγή στις Μεθόδους Απόδειξης δίνονται κάποιες ισότητες να αποδειχθούν. Ξεκίνησα να τις αποδείξω και πράγματι μετά από κάποια ταλαιπωρία τις κατάφερα (πλην της τελευταίας όπου έπρεπε να γίνουν κάποιες αναθέσεις που μου ξέφυγαν.)

Όταν βλέπω μια απόδειξη ολοκληρωμένη καταλαβαίνω ακριβώς τι γίνεται, αν και κάποιες κινήσεις στην αρχή μου μοιάζουν αυθαίρετες ύστερα βγάζω νόημα.

Η ερώτηση είναι η εξης: Πως εγώ θα μπορέσω να έχω την διορατικοτητα που χρειάζεται για να κανω μια αποδειξη; Δηλαδη πως θα βελτιώσω τον εαυτό μου ετσι ώστε οταν μου δινεται μια παράσταση/ταυτοτητα που πρεπει να αποδειχθεί να ξερω πως να κινηθώ;

Ευχαριστω !

#2

Αγαπητέ φίλε,

Δυστυχώς δεν υπάρχουν συνταγές για τις αποδείξεις στα μαθηματικά. Μερικές αποδείξεια μπορεί να μοιάζουν με άλλες και με την εξάσκηση έρχεται και η "διορατικότητα" για να δεις αν μπορείς να εφαρμόσεις κάτι που ήδη γνωρίζεις για να κάνεις την απόδειξη μιας πρότασης.

Ρίξε μια ματιά και στην εξαιρετική σελίδα του Εργαστηρίου Άλγεβρας του Πρότυπου Πειραματικού Λυκείου της Ευαγγελικής Σχολής Νέας Σμύρνης εδώ την οποία επιμελούνται εξαιρετικοί συνάδελφοι. Θα βρεις πολύ χρήσιμο υλικό για την έννοια της απόδειξης αλλά και πολλές καλογραμμένες αποδείξεις από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α' Λυκείου.

Αλέξανδρος

#3

Tarwen έγραψε:Καλημέρα σας και καλή εβδομάδα,

Η ερώτηση είναι η εξης: Πως εγώ θα μπορέσω να έχω την διορατικοτητα που χρειάζεται για να κανω μια αποδειξη; Δηλαδη πως θα βελτιώσω τον εαυτό μου ετσι ώστε οταν μου δινεται μια παράσταση/ταυτοτητα που πρεπει να αποδειχθεί να ξερω πως να κινηθώ;

Ευχαριστω !

Καλημέρα.

Κατ' αρχήν θα συμφωνήσω με τον Αλέξανδρο ότι δεν υπάρχουν συνταγές και ότι η "διορατικότητα" έρχεται με την εμπειρία. Όσον αφορά όμως στην ευθεία απόδειξη, μπορούμε να πούμε κάποια πράγματα:

● Συνήθως ξεκινάμε από ένα μέλος και καταλήγουμε στο άλλο(με τη βοήθεια επιμεριστικής ιδιότητας ή άλλων ταυτοτήτων). Συμφέρει να ξεκινήσουμε από το μέλος που έχει τις πιο πολλές πράξεις, ώστε να έχουμε περισσότερες εναλλακτικές.

π.χ Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{ab = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}}$

Εδώ είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να ξεκινήσουμε από το πρώτο μέλος, γιατί δεν μπορούμε να κάνουμε τίποτα.

● Τέλος υπάρχει και η ασφαλής μέθοδος. Παίρνουμε κάθε μέλος ξεχωριστά, κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Μπορούμε ακόμα, να κάνουμε πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο μέλη και να καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει.

π.χ σε εφαρμογή του βιβλίου δίνεται προς απόδειξη η ισοδυναμία: $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } = \frac{\gamma }{\delta } \Leftrightarrow \frac{{\alpha + \beta }}{\beta } = \frac{{\gamma + \delta }}{\delta }}$ .

Το βιβλίο δίνει μία κομψή λύση, ξεκινώντας από την πρώτη ισότητα και προσθέτοντας και στα δύο μέλη τον αριθμό

. Μπορεί να γίνει όμως και το εξής (αφού έχει ήδη αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } = \frac{\gamma }{\delta } \Leftrightarrow \alpha \delta = \beta \gamma }$ ):

$\displaystyle{\frac{{\alpha + \beta }}{\beta } = \frac{{\gamma + \delta }}{\delta } \Leftrightarrow (\alpha + \beta )\delta = (\gamma + \delta )\beta \Leftrightarrow \alpha \delta = \beta \gamma \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta } = \frac{\gamma }{\delta }}$

Σχετικα με τις αποδειξεις

Σχετικα με τις αποδειξεις

Re: Σχετικα με τις αποδειξεις

Re: Σχετικα με τις αποδειξεις

Μέλη σε σύνδεση