Περίκεντρα

#1

: περίκεντρα_1.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Έστω

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου σε τρίγωνο ABC

.

Φέρνουμε την διχοτόμο

και ας πούμε

το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{BAC}$ .

Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα A,O,N

διέρχεται και από τα περίκεντρα K,L

των τριγώνων $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACD$ αντίστοιχα.

Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο περίκεντρα_1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου σε τρίγωνο .

Φέρνουμε την διχοτόμο και ας πούμε το μέσο του τόξου $\overset{\frown}{BAC}$ .

Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα διέρχεται και από τα περίκεντρα των τριγώνων $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ACD$ αντίστοιχα.

Νίκος

Καλημέρα...

Αφού η $\displaystyle{AD}$ είναι διχοτόμος ,το $\displaystyle{N'}$ είναι μέσον του τόξου $\displaystyle{BC}$ και η $\displaystyle{NN'}$ είναι μεσοκάθετη της $\displaystyle{BC}$ και διάμετρος του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ ,άρα $\displaystyle{\angle N'AN = {90^0}}$
Αν $\displaystyle{S,T}$ τα περίκεντρα των $\displaystyle{\vartriangle ABD,ACD}$ θα δείξουμε ότι τα τετράπλευρα $\displaystyle{ASON,ATOS}$ είναι εγγράψιμα.
Λόγω της $\displaystyle{ST//AN}$ ,του εγγράψιμου τετραπλεύρου $\displaystyle{LEPD,}$ ,της $\displaystyle{ML//BD}$ και του εγγράψιμου $\displaystyle{AMSL}$ όλες οι πράσινες γωνίες $\displaystyle{x}$ είναι ίσες ,άρα $\displaystyle{ASON}$ εγγράψιμο.
$\displaystyle{AMOK}$ , $\displaystyle{AMSL}$ εγγράψιμα κι έτσι οι κόκκινες γωνίες $\displaystyle{y}$ είναι ίσες $\displaystyle{ \Rightarrow ASOT}$ εγγράψιμο.

Atlas · #3

Μια πιο απλή λύση, με δύο σχήματα:
Σχ.1:
Είναι εύκολο να δούμε ότι: $\displaystyle{{\rm A}\hat {\rm K}L = L\hat OC = \hat B = \theta }$ .
Οπότε τα $\displaystyle{A,K,O,L}$ είναι ομοκυκλικά.
Σχ.2:
Είναι:
$\displaystyle{{\rm N}\hat {\rm O}C = \hat B + \hat C\mathop {}\limits_{}^{} \Rightarrow \mathop {}\limits_{}^{} N\hat OL = \hat C}$

Ακόμα: $\displaystyle{O\hat NC = \frac{1}{2}\hat A\mathop {}\limits_{}^{} }$ και $\displaystyle{O\hat AL = \frac{1}{2}\hat A}$ .
Συνεπώς και τα $\displaystyle{O\hat AL = \frac{1}{2}\hat A}$ είναι ομοκυκλικά.
Άρα τα $\displaystyle{A,K,O,L,{\rm N}}$ είναι ομοκυκλικά.

Περίκεντρα

Περίκεντρα

Re: Περίκεντρα

Re: Περίκεντρα

Μέλη σε σύνδεση