Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

KARKAR · #1

: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους.png (6.96 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Σχεδιάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο το ύψος

να χωρίζει την πλευρά

σε λόγο $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$

και στο οποίο το ορθόκεντρο να είναι το μέσο του ύψους

. Ως παράδειγμα , πάρτε $\lambda =\dfrac{1}{2}$ .

Η περίπτωση $\lambda =\dfrac{1}{2}$ είναι πολύ ειδική . Δοκιμάστε καλύτερα την $\lambda =\dfrac{1}{3}$

S.E.Louridas · #2

Επιτρέψτε να πάω στην κατασκευή του σχήματος μέσω της κατασκευής του περιγεγραμμένου κύκλου, ώστε η κορυφή

να προσδιοριστεί ως τομή του κύκλου αυτού με την κάθετη επί τη

στο σημείο

Θα επανέλθω για την ανάλυση.

#3

KARKAR έγραψε:
Ορθόκεντρο μέσο του ύψους.png
Σχεδιάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο το ύψος να χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ και στο οποίο το ορθόκεντρο να είναι το μέσο του ύψους

Εύκολα από ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει ότι: $...\boxed{\left( {AD} \right) = \frac{{\sqrt {2\lambda } }}{{\lambda + 1}}\left( {BC} \right)}$ με ${AD \bot BC}$ και έτσι προσδιορίζεται και η κορυφή

Στάθης

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ορθόκεντρο μέσο του ύψους.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σχεδιάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο το ύψος να χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$

και στο οποίο το ορθόκεντρο να είναι το μέσο του ύψους . Ως παράδειγμα , πάρτε $\lambda =\dfrac{1}{2}$ .

Η περίπτωση $\lambda =\dfrac{1}{2}$ είναι πολύ ειδική . Δοκιμάστε καλύτερα την $\lambda =\dfrac{1}{3}$

Καλησπέρα σε όλους .

: ορθόκεντρο μέσο ύψους.png (26.07 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

Τμήμα

χωρίζεται εσωτερικά σε λόγο $\boxed{\lambda = \dfrac{m}{n}}\,\,\,m < n$ από το σημείο

. ( στο σχήμα έχει επιλεγεί $\lambda = \dfrac{3}{7}$ , έτσι στην τύχη. )

Βρίσκουμε το μέσο

του

και γράφουμε προς το ίδιο μέρος της

τα ημικύκλια διαμέτρων BC,BM

.

Φέρνουμε την κάθετη στην

στο

μου τέμνει το μικρότερο ημικύκλιο στο

.

Οι ημιευθείες BH,CH

τέμνουν το μεγάλο ημικύκλιο στα σημεία E,Z

.

Η τομή των BZ,CE

δίδει την κορυφή

του ζητουμένου τριγώνου του οποίου ορθόκεντρο είναι το

και πληρεί τις προδιαγραφές της άσκησης .

Αν m > n

εργαζόμαστε ομοίως από τη μεριά του

.

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #5

: Μέσο του ύψους.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Με τα νούμερα του Νίκου : ( Τεμνόμενες χορδές ) : $2x^2=3\cdot 7...\Leftrightarrow AD= 2x=\sqrt{42}$

#6

Καλησπέρα σε όλους. Και με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας, το όμορφο πρόβλημα του Θανάση αντιμετωπίζεται απλούστατα.

: 26-09-2014 Γεωμετρία.jpg (17.01 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο D(0, 0)

παίρνουμε τα σημεία B(-1, 0), C(3, 0), A(0, 2a), H(0, a), a > 0

,

οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {BD} \right)}}{{\left( {DC} \right)}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{3} \Leftrightarrow \left( {BD} \right) = \frac{1}{3}\left( {DC} \right)$

Είναι $\displaystyle {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} = 2a,\;\;{\lambda _{CH}} = - \frac{a}{3}$ .

Αφού

ορθόκεντρο του ABC

, είναι $\displaystyle {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} \cdot {\lambda _{CH}} = - 1 \Leftrightarrow a = \sqrt {\frac{3}{2}} ,\;\left( {\;a > 0} \right)$

Οπότε $\displaystyle A\left( {0,\;\sqrt 6 } \right)$ , κατασκευάσιμο.

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ για τυχαίο λόγο

: 26-09-2014 Γεωμετρία β.jpg (17.12 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο D(0, 0)

παίρνουμε τα σημεία $B(-1, 0), C(\lambda, 0), A(0, 2a), H(0, a), a, \lambda> 0$ ,

οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {BD} \right)}}{{\left( {DC} \right)}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\frac{1}{\lambda }}} \Leftrightarrow \left( {BD} \right) = \lambda \left( {DC} \right)$

Είναι $\displaystyle {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} = 2a,\;\;{\lambda _{CH}} = - a\lambda$ .

Αφού

ορθόκεντρο του ABC

, είναι $\displaystyle {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} \cdot {\lambda _{CH}} = - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt {2\lambda } }},\;\left( {\;a > 0} \right)$

Οπότε $\displaystyle A\left( {0,\;\sqrt {\frac{2}{\lambda }} } \right)$ , κατασκευάσιμο.

S.E.Louridas · #7

Απλά και μία απλή στοιχειώδης κατασκευή:
Η τομή της ημιπεριφέρειας

(που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα

) με την κάθετη στην

και στο

δηλαδή την

δίνει την κορυφή

S.E.Louridas · #8

Γεια και χαρά.
Θα ήθελα να μου επιτραπεί να προτείνω και τη γενίκευση που ακολουθεί:
" Σχεδιάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο το ύψος να χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ και στο οποίο το ορθόκεντρο να χωρίζει το ύψος σε δοθέντα λόγο, έστω $\mu.$ "

#9

S.E.Louridas έγραψε:Γεια και χαρά.
Θα ήθελα να μου επιτραπεί να προτείνω και τη γενίκευση που ακολουθεί:
" Σχεδιάστε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , στο οποίο το ύψος να χωρίζει την πλευρά σε λόγο $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$ και στο οποίο το ορθόκεντρο να χωρίζει το ύψος σε δοθέντα λόγο, έστω $\mu.$ "

Καλησπέρα Σωτήρη.Καλησπέρα σε όλους .

Στην γενικότερη περίπτωση.

: ορθόκεντρο_γενική κατασκευή.png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Το

χωρίζει το

σε λόγο $\lambda$ , το

χωρίζει το

σε λόγο $\mu$ .

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει στο

, την επί την

κάθετο σ αυτή ( την

) .

Οι κάθετες επί τις BH,CH

από τα

τέμνονται στο

.

Στο σχήμα : $\boxed{\lambda = \frac{2}{5},\mu = \frac{2}{1}}$ .

Φιλικά Νίκος

Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο και μέσα πλευρών

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Re: Ορθόκεντρο μέσο του ύψους

Μέλη σε σύνδεση