IMC 2013/1/2

Eukleidis · #1

Έστω $\displaystyle{f:{\Cal R} \to {\Cal R}}$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f''\left( \xi \right) = f\left( \xi \right)\left( {1 + 2{{\tan }^2}\xi } \right)}$ .

kostas_zervos · #2

Eukleidis έγραψε:Έστω $\displaystyle{f:{\Cal R} \to {\Cal R}}$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f''\left( \xi \right) = f\left( \xi \right)\left( {1 + 2{{\tan }^2}\xi } \right)}$ .

Έστω η συνάρτηση $h(x)=\dfrac{f'(x)\cos x-f(x)\sin x}{\cos^2 x}\;,\;x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ .

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ με

$h'(x)=\cdots=\dfrac{f''(x)-f(x)-2f(x)\tan^2x}{\cos x}$

Έστω ότι $h'(x)\neq 0\;\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ , τότε η h'(x)

θα διατηρεί σταθερό πρόσημο (διαφορετικά από το Θ. Darboux θα υπάρχει $x_0\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ ώστε h'(x_0)=0

).

Έστω ότι $h'(x)>0\;,\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ , τότε για κάθε $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ θα έχουμε $h(x)>h(0)\iff f'(x)\cos x-f(x)\sin x>f'(0)$ και για κάθε $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$ έχουμε $h(x)<h(0)\iff f'(x)\cos x-f(x)\sin x<f'(0)$ .

Αν $g(x)=f(x)\cos x-f'(0)x$ , τότε $g'(x)=f'(x)\cos x-f(x)\sin x-f'(0)$ και g'(x)>0

για κάθε $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ , g'(x)<0

για κάθε $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$ , επομένως έχουμε ελάχιστο στο x=0

, άρα $g(x)\geq g(0)\iff \cos x f(x)\geq f'(0)x\;,\;\forall x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$

Έτσι $\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\cos xf(x)\geq \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f'(0)x\iff f'(0)\leq 0$ (αφού

συνεχής στο $\mathbb{R}$ )

και $\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\cos xf(x)\geq \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}f'(0)x\iff f'(0)\geq 0$ (αφού

συνεχής στο $\mathbb{R}$ )

Άρα f'(0)=0

, επομένως $f(x)\geq 0\;,\;\forall x\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ και η ισότητα ισχύει μόνο στο x=0

.

Λόγω της συνέχειας της

στο $\mathbb{R}$ θα είναι $\displaystyle \lim_{x\to\pm\frac{\pi}{2}^+}f(x)>0$ .

Επίσης $\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}h(x)=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\left({f'(x)\cos x-f(x)\sin x\right)\dfrac{1}{\cos^2x}=-\infty$ και

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}h(x)=\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+}\left({f'(x)\cos x-f(x)\sin x\right)\dfrac{1}{\cos^2x}=+\infty$

Που είναι άτοπο , αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ .

Όμοια αν $h'(x)<0\;,\;\forall x\in \left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$
Άρα υπάρχει $\xi\in\left(- \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2} \right)$ ώστε $h'(\xi)=0\iff f''(\xi)=f(\xi)\left(1+2\tan^2\xi\right)$ .

#3

Συγνωμη Λάθος

IMC 2013/1/2

IMC 2013/1/2

Re: IMC 2013/1/2

Re: IMC 2013/1/2

Μέλη σε σύνδεση