Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1501

matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 492

Αν $\displaystyle{n}$ είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{10^n-55}{45}}$

είναι ακέραιος.

(Πρέπει ο $\displaystyle{n}$ να είναι είναι διάφορος του μηδενός)

Και μια άλλη διατύπωση με ισοτιμίες: Είναι $\displaystyle{10\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^n \equiv 1(mod 9)\Rightarrow 10^n -55\equiv -54(mod 9)\Rightarrow}$

$\displaystyle{10^n -55\equiv 0(mod 9)}$ . Άρα $\displaystyle{9| 10^n -55}$ .

Επίσης έχουμε: $\displaystyle{10\equiv 0(mod 5)\Rightarrow 10^n \equiv 0(mod 5)\Rightarrow 10^n -55\equiv -55(mod 5)\Rightarrow 10^n -55 \equiv 0(mod 5)}$ .

Άρα $\displaystyle{5|10^n -55}$ . Και αφού $\displaystyle{(5,9)=1}$ , άρα $\displaystyle{45|10^n -55}$

#1502

ΑΣΚΗΣΗ 493

Αν $\displaystyle{ a-\frac{1}{b}=3, \ \ b-\frac{1}{c}=4 , \ \ c-\frac{1}{a}=5,}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{ abc-\frac{1}{abc}.}$

#1503

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 493

Αν $\displaystyle{ a-\frac{1}{b}=3, \ \ b-\frac{1}{c}=4 , \ \ c-\frac{1}{a}=5,}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{ abc-\frac{1}{abc}.}$

Η υπόθεση γράφεται:

$\displaystyle{ab - 3b =1 , bc - 4c =1 , ca - 5a =1}$ και άρα: $\displaystyle{5ab - 15b = 5 , 3bc - 12c = 3 , 4ca - 20a = 4}$ και με πρόσθεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε:

$\displaystyle{5ab+4ac+3bc-(20a+15b+12c)=12}$

Πάλι από την υπόθεση, έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{b}=a-3 , \frac{1}{c}=b-4 , \frac{1}{a}=c-5}$ και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{abc}= abc+5ab+4ac+3bc-(20a+15b+12c)+60\Rightarrow \frac{1}{abc}-abc=12+60=72}$

#1504

ΑΣΚΗΣΗ 494

(Πιο πιθανό να την ξαναέχουμε, αλλά είναι βασική στην ιδέα της)

Αν a,b,c

είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{a+ b}} \geq 0$

Μπάμπης

(*** Ευχαριστώ για την επισήμανση του typo το Μιχάλη και τον Θοδωρή.Εκτός των αλλων, αντί για ανισότητα, την είχα δώσει ως ταυτότητα.)

#1505

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 494

(Πιο πιθανό να την ξαναέχουμε, αλλά είναι βασική στην ιδέα της)

Αν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{b - c}} + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{c - a}} + \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{a - b}} = 0$

Μπάμπης

Μπάμπη, κάποιο τυπογραφικό σφάλμα θα έχεις γιατί δεν ισχύει. Πάρε a=1, b=2, c=3

οπότε

$\displaystyle \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{b - c}} + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{c - a}} + \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{a - b}} = \frac{{{1} - {9}}}{{-1}} + \frac{{{4} - {1}}}{{2}} + \frac{{{9} - {4}}}{{-1}}= 8 + \frac {3}{2} -5\ne 0$

#1506

matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 492

Αν $\displaystyle{n}$ είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{10^n-55}{45}}$

είναι ακέραιος.

Αλλιώς:

$\displaystyle{ \frac{10^n-55}{45} = \frac{10(10^{n-1}-1)}{45} -1= \frac{2(10^{n-1}-1)}{9}-1}$

$\displaystyle{= \frac{2\times 999...99}{9}-1= 2\times 111...11 -1 = 222...21}$

#1507

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 494

(Πιο πιθανό να την ξαναέχουμε, αλλά είναι βασική στην ιδέα της)

Αν είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} - {b^2}}}{{a+ b}} \geq 0$

Μπάμπης

(*** Ευχαριστώ για την επισήμανση του typo το Μιχάλη και τον Θοδωρή.Εκτός των αλλων, αντί για ανισότητα, την είχα δώσει ως ταυτότητα.)

-- Είναι η ανισότητα αναδιάταξης για τις τριάδες (έχουν την ίδια διάταξη)

$\displaystyle{(a^2,b^2,c^2)}$ και $\displaystyle{\left(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\right)}$

-- Θέτουμε $a+b=x, \ b+c=y, \ c+a=z$ και η ανισότητα γράφεται

$\displaystyle{\frac{z(x-y)}{y}+\frac{x(y-z)}{z}+\frac{y(z-x)}{x}\geq 0}$

ή

$\displaystyle{\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z}$

που είναι εφαρμογή της $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca.$

#1508

ΑΣΚΗΣΗ 495
(Μικρό θεώρημα Fermat)
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x,y

τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{ x^{37} − y^{56} = x + 4.}$

#1509

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 495
(Μικρό θεώρημα Fermat)
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{ x^{37} − y^{56} = x + 4.}$

Δουλεύουμε $\displaystyle{\rm \mod 7}$ :

Από θεώρημα Fermat είναι:

$\displaystyle{\rm x^7\equiv x\implies x^{37}=(x^7)^5x^2\equiv x^7\equiv x}$

και

$\displaystyle{y^{56}=(y^7)^8\equiv y^8\equiv y^2.}$

Από τη σχέση που δίνεται προκύπτει

$\displaystyle{-y^2\equiv 4\mod 7\implies y^2\equiv 3\mod 7,}$ άτοπο, αφού αν $\displaystyle{y=7k+\upsilon ,~\upsilon =0,1,2,3,4,5,6}$ είναι $\displaystyle{\mod 7}$

$\displaystyle{y^2\equiv \upsilon ^2=0,1,4,9,16,25,36\equiv 0,1,4,2,2,4,1. }$

Αρχιμήδης 6 · #1510

matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 492

Αν $\displaystyle{n}$ είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{A=\frac{10^n-55}{45}}$

είναι ακέραιος.

Προκύπτει και επαγωγικά από την ταυτότητα

$\dfrac{10^{n+1}-55}{45}=10\dfrac{10^n-55}{45}+11$

Για n=1

αληθεύει άρα και για κάθε φυσικό.

#1511

ΑΣΚΗΣΗ 496
Να βρείτε τους x,y

ώστε τα σύνολα $A=\{3^x,3^{x+y},3^{x+2y} \}$ και $B=\{9,81,3^{2x-y}\}$ να είναι ίσα.

ΑΣΚΗΣΗ 497
Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\cos \pi x=\left[\frac{x}{2}-\left[\frac{x}{2}\right]-\frac{1}{2}\right]}$

#1512

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 496
Να βρείτε τους ώστε τα σύνολα $A=\{3^x,3^{x+y},3^{x+2y} \}$ και $B=\{9,81,3^{2x-y}\}$ να είναι ίσα.

Αν $\displaystyle{A=B}$ είναι $\displaystyle{3^x3^{x+y}3^{2x+y}=9\cdot 81\cdot 3^{2x-y}\implies 3^{3x+3y}=3^{2x-y+6}\implies x+4y=6.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

Από την ισότητα των συνόλων έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{3^x=9}$ είναι $\displaystyle{x=2,}$ οπότε από την ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) βρίσκουμε $\displaystyle{y=1.}$

Τότε βλέπουμε ότι $\displaystyle{A=B=\{9,81,27\}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{3^x=81,}$ είναι $\displaystyle{x=4}$ οπότε από την ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) βρίσκουμε $\displaystyle{y=\frac{1}{2}}$ και τότε βλέπουμε ότι $\displaystyle{A\ne B.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{3^x=3^{2x-y}}$ είναι $\displaystyle{x=y}$ και πάλι βρίσκουμε ότι $\displaystyle{A\ne B.}$

Άρα $\displaystyle{x=4,y=1.}$

#1513

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 497
Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\cos \pi x=\left[\frac{x}{2}-\left[\frac{x}{2}\right]-\frac{1}{2}\right]}$

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{[\frac{x}{2}]\leq \frac{x}{2}<[\frac{x}{2}]+1 \Leftrightarrow 0\leq \frac{x}{2}-[\frac{x}{2}]<1\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{-\frac{1}{2}\leq \frac{x}{2}-[\frac{x}{2}]-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}}$ . Άρα $\displaystyle{[\frac{x}{2}-[\frac{x}{2}]-\frac{1}{2}]=0}$

Άρα έχουμε να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{cos\pi x =0\Leftrightarrow \pi x = k\pi+\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=k+\frac{1}{2} , k\in Z}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το ακέραιο μέρος και οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, δεν αποτελούν αντικείμενο εξέτασης στους διαγωνισμούς της ΕΜΕ που αφορούν μαθητές του Γυμνασίου

#1514

ΑΣΚΗΣΗ 498: Πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{8 , 88 , 888 , ... , 888...8 }$ , (όπου ο τελευταίος αριθμός ,έχει $\displaystyle{n}$ ψηφία),

διαιρούνται με το $\displaystyle{6;}$

#1515

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 498: Πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{8 , 88 , 888 , ... , 888...8 }$ , (όπου ο τελευταίος αριθμός ,έχει $\displaystyle{n}$ ψηφία),

διαιρούνται με το $\displaystyle{6;}$

Δημήτρη, θερμά χαιρετίσματα στους εκεί φίλους, εντός ή εκτός mathematica.

Στο θέμα μας.

Αφού οι δοθέντες αριθμοί είναι άρτιοι, αρκεί να βρούμε πόσοι (ποιοί) διαιρούνται με το

.

Εφαρμόζοντας το κριτήριο διαιρετότητας του 3, εξετάζουμε το άθροισμα των ζηφίων του 888...8

(με

ψηφία). Είναι

οπότε διαιρείται με το

αν και μόνον αν 3|k

.

Τελικά έχουμε $\lfloor \frac {n}{3} \rfloor$ πολλαπλάσια του

.

M.

raf616 · #1516

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 498: Πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{8 , 88 , 888 , ... , 888...8 }$ , (όπου ο τελευταίος αριθμός ,έχει $\displaystyle{n}$ ψηφία),

διαιρούνται με το $\displaystyle{6;}$

Γεια σας κ. Δημήτρη! Μία προσέγγιση:

Θα πρέπει 3 | 88...8

και αφού όλοι οι αριθμοί είναι άρτιοι θα πρέπει $8n = 3r \implies n = 3k$ . Επομένως, το ζητούμενο πλήθος αριθμών είναι $\displaystyle{[\dfrac{n}{3}]}$ .

#1517

ΑΣΚΗΣΗ 499: Αν $\displaystyle{a,b,c >0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{a(b+c+1)}<3+a+2b+c}$

G.Bas · #1518

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 499: Αν $\displaystyle{a,b,c >0}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{a(b+c+1)}<3+a+2b+c}$

Ισχύει από τις Ανισότητες Cauchy - Schwarz και AM - GM αντίστοιχα

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{a}+\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{a(b+c+1)}&<\sqrt{3[a+a(b+1)+a(b+c+1)]}\\&=\sqrt{3(3a+2ab+ac)}\\&=\sqrt{3a(3+2b+c)}\\&< 2\sqrt{a(3+2b+c)}\\&<3+a+2b+c.\end{aligned}}$

#1519

ΑΣΚΗΣΗ 500 Αν $\displaystyle{x,y,z \in Z}$ και $\displaystyle{(x,y)=1}$ , και αν επί πλέον είναι $\displaystyle{x^2 +3y^2 -z^4 =0}$ , να αποδείξετε ότι

(α) Ο $\displaystyle{x}$ είναι περιττός

(β) Ο $\displaystyle{y}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{4}$ .

ΣΗΜ: Διόρθωσα ένα λάθος στην εκφώνηση στο (β) ερώτημα (που επισημάνθηκε από τον Δημήτρη ("Αρχιμήδης 6")):
Αντί "Ο z είναι πολλαπλάσιο του

" , θέλει "Ο y είναι πολλαπλάσιο του

"

#1520

ΑΣΚΗΣΗ 501: (Για Β Γυμνασίου). Δίνεται η ανίσωση:

$\displaystyle{ \frac{2-x}{3}+k<k(x-1)+\frac{x+k}{2} }$ , ΄όπου ο $\displaystyle{ k }$ είναι ακέραιος αριθμός. Αν οι αριθμοί $\displaystyle{ x=2 }$ και $\displaystyle{ x=\frac{4}{5} }$ αποτελούν

δύο λύσεις της ανίσωσης, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με το $\displaystyle{ 5 }$ που να είναι λύση της ανίσωσης.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση