Ένα σύστημα!

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x^5=y+y^5, \\ y^5=z+z^5, \\ z^5=t+t^5, \\ t^5=x+x^5.\end{cases}}$

#2

matha έγραψε:Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x^5=y+y^5, \\ y^5=z+z^5, \\ z^5=t+t^5, \\ t^5=x+x^5.\end{cases}}$

Απάντηση:

.

Από την τελευταία εξίσωση βλέπουμε ότι αν $x\ge 0$ τότε $t\ge 0$ και όμοια, διαδοχικά, είναι $z\ge 0, \, y \ge 0$ . Ισχύχει το ανάλογο αν $x\le 0$ . Με άλλα λόγια τα x, y, z, t

είναι όλα θετικά ή όλα αρνητικά. Στην πρώτη περίπτωση (όμοια η δεύτερη) έχουμε

$t^5=x+x^5\ge x^5=y+y^5\ge y^5=z+z^5\ge z^5=t+t^5\ge t^5$ . Άρα έχουμε ισότητα παντού, οπότε x^5=y^5=z^5=t^5

. Η τελευταία εξίσωση δίνει τώρα x=0

. Όμοια

, και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

matha έγραψε:Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x^5=y+y^5, \\ y^5=z+z^5, \\ z^5=t+t^5, \\ t^5=x+x^5.\end{cases}}$

Προσθέτοντας έχουμε $x+y+z+t=0 \ (^*).$

Αν x>0

τότε

άτοπο λόγω της (^*).

Όμοια, αν

τότε

άτοπο λόγω της (^*).

Οπότε

που δίνει τη μοναδική λύση x=y=z=t=0.

Ένα σύστημα!

Ένα σύστημα!

Re: Ένα σύστημα!

Re: Ένα σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση