Mοναδικό σημείο

STOPJOHN · #1

Καλημέρα
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $M(x_{0},y_{0})$ του επιπέδου , του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν τη σχέση $(x^{2}+x+1).(3y^{2}+2y+3)=2$
Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διάρχεται από το $M(x_{0},y_{0})$ και είναι κάθετη στην διχοτόμο II-IV

γωνίας των αξόνων

Γιάννης

Γιώργος Απόκης · #2

Για το πρώτο ζητούμενο :

$\displaystyle{x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4} }$ (η ισότητα μόνο για $\displaystyle{x=-\frac{1}{2}}$ )

$\displaystyle{3y^2+2y+3=3\left(y^2+\frac{2}{3}x+1\right)=3\left[\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}\right]\geq \frac{8}{3} }$ (η ισότητα μόνο για $\displaystyle{y=-\frac{1}{3}}$ ).

Tα μέλη των ανισοτήτων είναι θετικά, άρα πολλαπλασιάζουμε και έχουμε $\displaystyle{(x^2+x+1)(3y^2+2y+3)\geq 2}$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για $\displaystyle{x=-\frac{1}{2},~y=-\frac{1}{3}}$ που είναι και οι ζητούμενες συντεταγμένες

ArgirisM · #3

Γράφω μετά από μία μεγάλη περίοδο αποχής από το

. Η δοθείσα σχέση γράφεται ισοδύναμα:
$[(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}][(y + \frac{1}{3})^2 + \frac{8}{9}] = \frac{2}{3} (1)$
Η ελάχιστη τιμή της παράστασης του πρώτου μέλους είναι $\frac{2}{3}$ και λαμβάνεται όταν $(x, y) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ . Έτσι συμπαιρένουμε πως αυτή είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης.
Η ευθεία τώρα που διέρχεται από το $M(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ και είναι κάθετη στη διχοτόμο των γωνιών του δεύτερου και του τέταρτου τεταρτημορίου πρέπει να έχει συντελεστή διεύθηνσης ίσο με τη μονάδα. Άρα θα είναι της μορφής $(\epsilon): y = x + b$ . Είναι τώρα $M \in \epsilon \Longleftrightarrow - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} + b \Longleftrightarrow b = \frac{1}{6}$ . Επομένως η ζητούμενη ευθεία είναι $(\epsilon): y = x + \frac{1}{6}$ .
Βλέπω αναρτώντας την απάντησή μου πως το ένα σκέλος της άσκησης έχει απαντηθεί. Το αφήνω όμως για τον κόπο...

STOPJOHN · #4

Kαλημέρα
Ευχαριστώ το Γιώργο και Αργύρη (;) για τις λύσεις τους. Η λύση χωρίς ακρότατα :
Η δοθείσα σχέση γράφεται
$(3y^{2}+2y+3)x^{2}+(3y^{2}+2y+3).x+(3y^{2}+2y+1)=0, \Delta =-(3y^{2}+2y+3)(3y+1)^{2}\leq 0$

Συνεπώς $\Delta =0\Leftrightarrow y=\frac{-1}{3}, x=\frac{-1}{2}, M(\frac{-1}{2},\frac{-1}{3})$ το σταθερό σημείο

Το δευτερο ερώτημα έχει ήδη απαντηθεί

Γιάννης

Mοναδικό σημείο

Mοναδικό σημείο

Re: Mοναδικό σημείο

Re: Mοναδικό σημείο

Re: Mοναδικό σημείο

Μέλη σε σύνδεση