Μηδενική συνάρτηση.

#1

Έστω f : [0,α]-> [0,+00) μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ f(t) \le e^{\int\limits_0^t {f(s)ds} } - 1,\forall t \in \left[ {0,a} \right] }$

Να αποδείξετε πως:

$\displaystyle{ f \equiv 0 }$

Υ.Γ: Διόρθωσα την εκφώνηση της άσκησης , όπως περιγράφω παρακάτω.

#2

Για t=0, η δοσμένη σχέση γίνεται: $f(x)\leq 0$ και αφού από τα δεδομένα έχουμε $f:[0,a]\rightarrow [0,+\infty)$ , προκύπτει ότι f(x)=0.

Δεν μπορεί να είναι τόσο εύκολο. Μήπως το άκρο ολοκλήρωσης είναι x;

#3

Ή $t\in(0,a]$ ; Λέω εγώ τώρα...

#4

Kαλημέρα.
Συγνώμη που δεν απάντησα άμεσα, αλλά με πήρε ο ύπνος!
Λοιπόν έχετε απόλυτο δίκιο, όσον αφορά οτι κάτι έχασα!
Είναι f(t) αντί f(x) .
Συγνώμη και πάλι.

#5

Για να υπενθυμίσω μια όμορφη άσκηση από Putnam $\displaystyle{f:[a,b]\to R , f(a)=0 , m>0 , |f'(x)|\le m|f(x)| , f'}$ συνεχής τότε η $\displaystyle{f}$ είναι η μηδενική συνάρτηση στο $\displaystyle{[a,b]}$

Εδώ αν θέσω $\displaystyle{g(x)=e^{\int_{0}^{x}{f(t)dt}}}$ θα έχω
$\displaystyle{0\le \frac{g'(x)}{g(x)}\le g(x)-1 , g(0)=1}$ με $\displaystyle{g(x)\ge 1, g'(x)\ge 0}$
τώρα αν $\displaystyle{h(x)=g(x)-1}$ προκύπτουν $\displaystyle{0\le \frac{h'(x)}{1+h(x)}\le h(x) \Rightarrow 0\le h'(x)}\le h(x)(1+h(x))\le mh(x)}$ όπου $\displaystyle{m=max(1+h)=1+h(a)>0}$ αφού η $\displaystyle{h}$ είναι αύξουσα και συνεχής στο $\displaystyle{[0,a]}$

τώρα αν αντιστοιχίσουμε την $\displaystyle{h\to |f|}$ και το $\displaystyle{[0,a]\to [a,b]}$ τότε αναγόμαστε στην 1η άσκηση που η λύση της είναι στο συνημμένο αν και νομίζω ότι έχει συζητηθεί ξανά?

#6

Καλημέρα Ροδόλφε!
Ευχαριστώ για τις ωραίες προτάσεις και τη λύση σου!
Νομίζω (με το φτωχό μου το μυαλό!) πως δεν έχει ξανασυζητηθεί η συγκεκριμένη. Ασκήσεις πάντως με συναρτήσεις που τελικά γίνονται μηδενικές , αρκετές!
Πάμε για δουλειά . Καλημέρα σε όλους!

#7

R BORIS έγραψε:Για να υπενθυμίσω μια όμορφη άσκηση από Putnam $\displaystyle{f:[a,b]\to R , f(a)=0 , m>0 , |f'(x)|\le m|f(x)| , f'}$ συνεχής τότε η $\displaystyle{f}$ είναι η μηδενική συνάρτηση στο $\displaystyle{[a,b]}$
...
τότε αναγόμαστε στην 1η άσκηση που η λύση της είναι στο συνημμένο αν και νομίζω ότι έχει συζητηθεί ξανά?

εδώ

Μηδενική συνάρτηση.

Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Re: Μηδενική συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση