Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Al.Koutsouridis · #1

Έστω τρίγωνο ABC (AB < BC )

. Στις πλευρές του

και

θεωρούμε σημεία C_1 , A_1

αντίστοιχα και έστω

το μέσο του τόξου ABC

. Να αποδείξετε ότι AC_1 = CA_1

αν και μόνο αν τα σημεία A_1, C_1, B, N

είναι ομοκυκλικά.

: isa_an_kai_mono_an_meso.PNG (14.74 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω τρίγωνο . Στις πλευρές του και θεωρούμε σημεία αντίστοιχα και έστω
το μέσο του τόξου . Να αποδείξετε ότι αν και μόνο αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Το συνημμένο isa_an_kai_mono_an_meso.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλησπέρα .

: Αν και μόνο άν.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

Μετά την αποτυχία της Εθνικής ας χαλαρώσουμε λίγο .

Αν $A{C_1} = C{A_1}$ και αφού $AN = CN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ , τα τρίγωνα $AN{C_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN{A_1}$ είναι ίσα και άρα $N{C_1} = N{A_1}$ .

Άμεση συνέπεια : $A\widehat NC = {C_1}\widehat N{A_1} \Leftrightarrow \widehat B = {C_1}\widehat N{A_1}$ που μας εξασφαλίζει την ομοκυκλικότητα των $B,{C_{1,}}{A_{1,}}N$ .

Στο αντίστροφο έχουμε $N{C_1} = N{A_1}$ , NA = NC

και τις περιεχόμενες σ αυτές τις πλευρές γωνίες ίσες και άρα $\vartriangle AN{C_1}\,\, = \,\,\vartriangle CN{A_1}$ , οπότε $A{C_1} = C{A_1}$ .

Το σημείο

είναι ειδική περίπτωση του σημείου Petersen

.

Φιλικά Νίκος

#3

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω τρίγωνο . Στις πλευρές του και θεωρούμε σημεία αντίστοιχα και έστω
το μέσο του τόξου . Να αποδείξετε ότι αν και μόνο αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Το συνημμένο isa_an_kai_mono_an_meso.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλό βράδυ.

Έστω AC_1=CA_!

και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου A_1C_1B

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

στο σημείο

.
Είναι $\omega=\phi$ (ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του κόκκινου κύκλου). Άρα $\displaystyle{A\widehat {{C_1}}N = C\widehat {{A_1}}N}$ . Ομοίως $\displaystyle{{C_1}\widehat AN = {A_1}\widehat CN}$ . Οπότε τα τρίγωνα C_1AN, A_1CN

είναι ίσα, άρα NA=NC

, δηλαδή το

είναι το μέσο του τόξου ABC

.

: Ίσα αν και μόνο αν....png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Αν

είναι το μέσο του τόξου ABC

και τα τα σημεία A_1, C_1, B, N

είναι ομοκυκλικά, τότε από την ισότητα των ίδιων τριγώνων, αλλά για διαφορετικούς λόγους, προκύπτει ότι AC_1=CA_1

.

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Νίκος. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος περισσότερο.

Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Re: Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Re: Ίσα αν και μόνο αν μέσο τόξου

Μέλη σε σύνδεση