Ερώτηση για ύπαρξη μονοτονιας δεν σημειο ασυνέχειας

[mariapas]

Καλημέρα,

Θα ηθελα να ρωτήσω το παρακάτω που με προβληματίζει:
Έστω συνάρτηση, της οποίας η πρώτη παραγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο σε ενα διαστημα, εκτός απο ενα σημείο στο οποίο δεν ειναι ούτε παραγωγιςιμη ούτε συνεχής.
Τότε όμως μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η συνάρτηση ειναι γνησιως μονότονη αν ισχύουν κάποιες ανισότητες με τα πλευρικά όρια στο συγκεκριμένο σημείο.

Π.χ. Αν η πρωτη παραγωγός θετική στο Διαςτημα που ορίζεται η συναρτηςη, εκτός καποιου σημείο στο οποίο η συναρτηςη ασυνεχής, αλλα ιςχυει ότι το όριο της απο αριστερά στο σημειο αυτο ειναι μικρότερο απο το δεξιά όριο στο ίδιο σημείο, τότε η συναρτηςη ειναι γνήσιως αύξουσα.

Θα ηθελα αν μπορεί κάποιος να μου το επιβεβαιώσει. Με προβλημάτισε γιατί σε κάποια βοηθήματα δεν κανουνε καθόλου αναφορά σε αυτή την περίπτωση.

Μαρία Π.

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα,

Θα ηθελα να ρωτήσω το παρακάτω που με προβληματίζει:
.................
Π.χ. Αν η πρωτη παραγωγός θετική στο Διαςτημα που ορίζεται η συναρτηςη, εκτός καποιου σημείο στο οποίο η συναρτηςη ασυνεχής, αλλα ιςχυει ότι το όριο της απο αριστερά στο σημειο αυτο ειναι μικρότερο απο το δεξιά όριο στο ίδιο σημείο, τότε η συναρτηςη ειναι γνήσιως αύξουσα.

Θα ηθελα αν μπορεί κάποιος να μου το επιβεβαιώσει. Με προβλημάτισε γιατί σε κάποια βοηθήματα δεν κανουνε καθόλου αναφορά σε αυτή την περίπτωση.

Μαρία Π.

Μαρία , καλωσήρθες στη μεγάλη παρέα του mathematica !

Λοιπόν, αυτά τα θέματα τα έχουμε εξαντλήσει στο παρελθόν, αλλά αφού είσαι νέα θα ξαναπούμε μα χαρά όσα χρειάζονται !

Σε επίπεδο σχολείου και εξετάσεων, δεν τίθεται θέμα. Μόνο συνεχείς συναρτήσεις μελετώνται στο σχολικό ως προς την μονοτονία.Έτσι,λογικά, οι μαθητές δεν θα συναντήσουν τέτοια περίπτωση .
Αλλά από μαθηματική πλευρά αυτό το σημείο έχει ένα μικρό ενδιαφέρον .

Αυτό που γράφεις είναι θεωρητικά σωστό(αρκεί επιπλέον το ένα πλευρικό όριο να ισούται με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό) , αλλά πώς να το αξιοποιήσει ο μαθητής άμεσα, αφού δεν το έχει διδαχθεί ; Πρέπει να επικαλεστεί τη μέθοδο εύρεσης τιμών στα δύο διαστήματα και να συγκρίνει τις τιμές, χρησιμοποιώντας τον ορισμό διακρίνοντας τρεις περιπτώσεις .

Ενδιαφέρον έχει μόνο η περίπτωση που τα είναι εκατέρωθεν του επίμαχου σημείου. ΕΚεί, για να αποδείξει ότι πρέπει να αποδείξει ότι η πρώτη τιμή είναι μικρότερη από το αριστερό όριο(να που θα επικαλεσθεί τη σχετική μέθοδο εύρεσης συνόλου τιμών για συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση) και η δεύτερη μεγαλύτερη από το δεξιό πλευρικό όριο. Αφού το αριστερό όριο είναι μικρότερο από το δεξιό, προκύπτει ότι και έτσι η μονοτονία εξασφαλιζεται τελικά σε όλο το διάστημα.
Αυτό είναι γενικά το περίγραμμα της αιτιολόγησης για σχολικές απαιτήσεις.

Αν και κατά το παρελθόν έκανα αναλυτικά αυτές τις περιπτώσεις , τα τελευταία χρόνια δεν κάνω την παραμικρή νύξη, διότι είναι χάσιμο χρόνου. ΑΝ έχεις όμως καλούς μαθητές που έχουν μάθει όλα τα άλλα, είναι μπροστά στην ύλη και έχουν εξασφαλίσει το 100 στις εξετάσεις, είναι ωραίο να τις αναφέρεις , όπως και τόσες άλλες εξαιρετικές περιπτώσεις που έχουν πολύ μαθηματικό ενδιαφέρον, αλλά είναι αδόκιμες για τις εξετάσεις.

Τέλος, να αναφέρω , ότι ο προβληματισμός της Μαρίας επεκτείνεται και στα εξής σημεία :

α) Πώς μελετάμε το μιας ασυνεχούς συνάρτησης ;

β) Πώς βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

γ) Πώς βρίσκουμε τη μονοτονία σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

δ) Πώς βρίσκουμε το σύνολο τιμών σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

Ωραία ερωτήματα που με γυρίζουν 15-20 χρόνια, τότε που αυτά τα διδάσκαμε ως φροντιστές 10 ώρες την ημέρα(με τις δέσμες τρέχαμε στο μάθημα όλη τη μέρα!).

Με το τωρινό βιβλίο θεωρώ πως πια αυτά τα ερωτήματα(που ο καθηγητής πρέπει να τα γνωρίζει!) δεν έχουν καμία θέση μέσα στην καθημερινή διδασκαλία ή στις εξετάσεις,πλην ελάχιστων ίσων περιπτώσεων.

Μπάμπης

[Christos.N]

Καλημέρα,

'Εστω συνάρτηση, της οποίας η πρώτη παραγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο σε ενα διαστημα, εκτός απο ενα σημείο στο οποίο δεν ειναι ούτε παραγωγιςιμη ούτε συνεχής.
....
Π.χ. Αν η πρωτη παραγωγός θετική στο Διαςτημα που ορίζεται η συναρτηςη, εκτός καποιου σημείο στο οποίο η συναρτηςη ασυνεχής, αλλα ιςχυει ότι το όριο της απο αριστερά στο σημειο αυτο ειναι μικρότερο απο το δεξιά όριο στο ίδιο σημείο, τότε η συναρτηςη ειναι γνήσιως αύξουσα.

Νομίζω ότι αν κατάλαβα σωστά τον προβληματισμό σου, τότε η συνάρτηση:



Είναι παραγωγίσιμη εκτός του , η παράγωγος έχει θετικό πρόσημο στα διαστήματα που ορίζεται , δεν είναι συνεχής στο και ισχύει ότι

Ωστόσο δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της.

[mariapas]

Καλημέρα,

Θα ηθελα να ρωτήσω το παρακάτω που με προβληματίζει:
.................
Π.χ. Αν η πρωτη παραγωγός θετική στο Διαςτημα που ορίζεται η συναρτηςη, εκτός καποιου σημείο στο οποίο η συναρτηςη ασυνεχής, αλλα ιςχυει ότι το όριο της απο αριστερά στο σημειο αυτο ειναι μικρότερο απο το δεξιά όριο στο ίδιο σημείο, τότε η συναρτηςη ειναι γνήσιως αύξουσα.

Θα ηθελα αν μπορεί κάποιος να μου το επιβεβαιώσει. Με προβλημάτισε γιατί σε κάποια βοηθήματα δεν κανουνε καθόλου αναφορά σε αυτή την περίπτωση.

Μαρία Π.

Μαρία , καλωσήρθες στη μεγάλη παρέα του mathematica !

Λοιπόν, αυτά τα θέματα τα έχουμε εξαντλήσει στο παρελθόν, αλλά αφού είσαι νέα θα ξαναπούμε μα χαρά όσα χρειάζονται !

Σε επίπεδο σχολείου και εξετάσεων, δεν τίθεται θέμα. Μόνο συνεχείς συναρτήσεις μελετώνται στο σχολικό ως προς την μονοτονία.Έτσι,λογικά, οι μαθητές δεν θα συναντήσουν τέτοια περίπτωση .
Αλλά από μαθηματική πλευρά αυτό το σημείο έχει ένα μικρό ενδιαφέρον .

Αυτό που γράφεις είναι θεωρητικά σωστό(αρκεί επιπλέον το ένα πλευρικό όριο να ισούται με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό) , αλλά πώς να το αξιοποιήσει ο μαθητής άμεσα, αφού δεν το έχει διδαχθεί ; Πρέπει να επικαλεστεί τη μέθοδο εύρεσης τιμών στα δύο διαστήματα και να συγκρίνει τις τιμές, χρησιμοποιώντας τον ορισμό διακρίνοντας τρεις περιπτώσεις .

Ενδιαφέρον έχει μόνο η περίπτωση που τα είναι εκατέρωθεν του επίμαχου σημείου. ΕΚεί, για να αποδείξει ότι πρέπει να αποδείξει ότι η πρώτη τιμή είναι μικρότερη από το αριστερό όριο(να που θα επικαλεσθεί τη σχετική μέθοδο εύρεσης συνόλου τιμών για συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση) και η δεύτερη μεγαλύτερη από το δεξιό πλευρικό όριο. Αφού το αριστερό όριο είναι μικρότερο από το δεξιό, προκύπτει ότι και έτσι η μονοτονία εξασφαλιζεται τελικά σε όλο το διάστημα.
Αυτό είναι γενικά το περίγραμμα της αιτιολόγησης για σχολικές απαιτήσεις.

Αν και κατά το παρελθόν έκανα αναλυτικά αυτές τις περιπτώσεις , τα τελευταία χρόνια δεν κάνω την παραμικρή νύξη, διότι είναι χάσιμο χρόνου. ΑΝ έχεις όμως καλούς μαθητές που έχουν μάθει όλα τα άλλα, είναι μπροστά στην ύλη και έχουν εξασφαλίσει το 100 στις εξετάσεις, είναι ωραίο να τις αναφέρεις , όπως και τόσες άλλες εξαιρετικές περιπτώσεις που έχουν πολύ μαθηματικό ενδιαφέρον, αλλά είναι αδόκιμες για τις εξετάσεις.

Τέλος, να αναφέρω , ότι ο προβληματισμός της Μαρίας επεκτείνεται και στα εξής σημεία :

α) Πώς μελετάμε το μιας ασυνεχούς συνάρτησης ;

β) Πώς βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

γ) Πώς βρίσκουμε τη μονοτονία σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

δ) Πώς βρίσκουμε το σύνολο τιμών σε μια ασυνεχή συνάρτηση ;

Ωραία ερωτήματα που με γυρίζουν 15-20 χρόνια, τότε που αυτά τα διδάσκαμε ως φροντιστές 10 ώρες την ημέρα(με τις δέσμες τρέχαμε στο μάθημα όλη τη μέρα!).

Με το τωρινό βιβλίο θεωρώ πως πια αυτά τα ερωτήματα(που ο καθηγητής πρέπει να τα γνωρίζει!) δεν έχουν καμία θέση μέσα στην καθημερινή διδασκαλία ή στις εξετάσεις,πλην ελάχιστων ίσων περιπτώσεων.

Μπάμπης

Κύριε Στεργιου καλησπερα,

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση που μου δώσατε. Με καλύψατε πλήρως.
Καλό υπόλοιπο Σαββάτου!

Με εκτίμηση,
Πασσιά Μαρια

[batmsup1]

Μαίρη λες οτι κάποια βοηθήματα δεν θίγουν το θέμα. Έχεις κάποια αλλα που αναφέρονται στο θέμα;

[Μπάμπης Στεργίου]

..................
Κύριε Στεργιου καλησπερα,

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση που μου δώσατε. Με καλύψατε πλήρως.
Καλό υπόλοιπο Σαββάτου!

Με εκτίμηση,
Πασσιά Μαρια

Μαρία, να προσέξεις όμως την παρατήρηση του Χρήστου. Τα πλευρικά όρια πρέπει να τα συγκρίνουμε και με την τιμή . Ναι μεν στην πράξη -όπως δίνονται συνήθως οι συναρτήσεις με διπλό τύπο - το ένα από τα πλευρικά όρια στο να είναι ίσο με το , αλλά η γενική θεωρητική περίπτωση έχει και παρενέργειες.
Με την ίδια μέθοδο εξετάζουμε και τα ακρότατα στο σημείο ασυνέχειας, όταν η μονοτονία εκατέρωθεν του σημείου αλλάζει.Αν πχ έχουμε από αριστερά γν. αύξουσα και από δεξιά γν. αύξουσα συνάρτηση , τότε για να είναι το τοπικό μέγιστο, πρέπει η τιμή να είναι μεγαλύτερη ή ίση από τα δύο πλευρικά όρια στο .

Ευχαριστώ το Χρήστο για την απαραίτητη παρέμβαση.

Μπάμπης

[mariapas]

..................
Κύριε Στεργιου καλησπερα,

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση που μου δώσατε. Με καλύψατε πλήρως.
Καλό υπόλοιπο Σαββάτου!

Με εκτίμηση,
Πασσιά Μαρια

Μαρία, να προσέξεις όμως την παρατήρηση του Χρήστου. Τα πλευρικά όρια πρέπει να τα συγκρίνουμε και με την τιμή . Ναι μεν στην πράξη -όπως δίνονται συνήθως οι συναρτήσεις με διπλό τύπο - το ένα από τα πλευρικά όρια στο να είναι ίσο με το , αλλά η γενική θεωρητική περίπτωση έχει και παρενέργειες.
Με την ίδια μέθοδο εξετάζουμε και τα ακρότατα στο σημείο ασυνέχειας, όταν η μονοτονία εκατέρωθεν του σημείου αλλάζει.Αν πχ έχουμε από αριστερά γν. αύξουσα και από δεξιά γν. αύξουσα συνάρτηση , τότε για να είναι το τοπικό μέγιστο, πρέπει η τιμή να είναι μεγαλύτερη ή ίση από τα δύο πλευρικά όρια στο .

Ευχαριστώ το Χρήστο για την απαραίτητη παρέμβαση.

Μπάμπης

Καλησπερα,

Κύριε Στεργιου σας ευχαριστώ για το παραπάνω σχόλιο.

Μαρία Π.

[mariapas]

Μαίρη λες οτι κάποια βοηθήματα δεν θίγουν το θέμα. Έχεις κάποια αλλα που αναφέρονται στο θέμα;

Καλησπερα,

Συγνώμη για την καθυστερημένη μου απάντηση. Ναι στο βοήθημα του Κυρίου Παπαδακη, Μαθηματικα Γ2, σελίδα 95.

Μαρία Π.