Άλλη μια με αντίστροφη

maiksoul · #1

Έστω $\displaystyle{ \,\,f:R \to R\,\, }$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{ \,\,\,f(x^3 + e^{x + 2} + 1) = x + 2\,\,\,\forall x \in \Re \,\,\,\,\,(1)\,\, }$

Δείξτε ότι ορίζεται η $\displaystyle{ \,\,f^{ - 1} \,\, }$ η οποία και να βρεθεί .

gavrilos · #2

Το ότι η συνάρτηση είναι "επί" εξάγεται άμεσα από τη δοσμένη σχέση (αν θέλουμε να της δώσουμε την πραγματική τιμή $\displaystyle{x_{1}}$ βάζουμε $\displaystyle{x=x_{1}-2}$ ).

Το ότι είναι $\displaystyle{1-1}$ μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής (λογικά υπάρχει και απλούστερη διαδρομή αλλά έχω μπερδευτεί λίγο οπότε το "παίρνω αλλιώς"):

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^{3}+e^{x+2}+1}$ είναι συνεχής ως πράξη συνεχών συναρτήσεων.Επίσης $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} x^{3}+e^{x+2}+1=\lim_{x\to +\infty} x^{3}+\lim_{x\to +\infty} e^{x+2}+1=+\infty}$

και $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} x^{3}+e^{x+2}+1=\lim_{x\to -\infty} x^{3}+\lim_{x\to -\infty} e^{x+2}+1=-\infty}$ άρα η $\displaystyle{g(x)}$ είναι "επί".

Άρα ορίζεται σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η $\displaystyle{g^{-1}(x)}$ .

Βάζουμε στη δοσμένη σχέση $\displaystyle{x=g^{-1}(x)}$ κι έχουμε $\displaystyle{f(g(g^{-1}(x)))=g^{-1}(x)+2\Leftrightarrow f(x)=g^{-1}(x)+2}$ .

Όμως η $\displaystyle{g^{-1}{(x)}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ άρα και η $\displaystyle{f(x)}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f(x)-2}$ και παίρνουμε $\displaystyle{f\left((f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1\right)=f(x)\overset{1-1}\Leftrightarrow (f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1=x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f^{-1}(x)}$ στην τελευταία και παίρνουμε $\displaystyle{(f(f^{-1}(x))-2)^{3}+e^{f(f^{-1}(x))}+1=f^{-1}(x)\Leftrightarrow \boxed{f^{-1}(x)=(x-2)^{3}+e^{x}+1}}$ .

#3

gavrilos έγραψε:Θα δείξω ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^{3}+e^{x+2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Άρα $\displaystyle{x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow g(x_{1})<g(x_{2})}$ και βλέπουμε ότι $\displaystyle{f(g(x_{1}))<f(g(x_{2}))}$ επομένως και η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Θέτουμε $\displaystyle{x=f(x)-2}$ και παίρνουμε $\displaystyle{f\left((f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1\right)=f(x)\overset{1-1}\Leftrightarrow (f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1=x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f^{-1}(x)}$ στην τελευταία και παίρνουμε $\displaystyle{(f(f^{-1}(x))-2)^{3}+e^{f(f^{-1}(x))}+1=f^{-1}(x)\Leftrightarrow \boxed{f^{-1}(x)=(x-2)^{3}+e^{x}+1}}$ .

Edit:Ευχαριστώ το Θανάση (socrates) για την υπόδειξη μιας σημαντικής παράλειψης.

Σε κάποιο σημείο της λύσης σου είχες αποδείξει ότι η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$ , αλλά παρέλλειψες να το γράψεις υποθέτω

.Διαφορετικά το τελευταίο βήμα

Θέτουμε $\displaystyle{x=f^{-1}(x)}$ στην τελευταία και παίρνουμε $\displaystyle{(f(f^{-1}(x))-2)^{3}+e^{f(f^{-1}(x))}+1=f^{-1}(x)\Leftrightarrow \boxed{f^{-1}(x)=(x-2)^{3}+e^{x}+1}}$ .

είναι ελλειπές, διότι δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Μπαμπης

maiksoul · #4

gavrilos έγραψε:
Θα δείξω ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^{3}+e^{x+2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Άρα $\displaystyle{x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow g(x_{1})<g(x_{2})}$ και βλέπουμε ότι $\displaystyle{f(g(x_{1}))<f(g(x_{2}))}$ επομένως και η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Ωραία (αν και όχι αναλυτική) προσσέγγιση !

Μια ένσταση μόνο...

Νομίζω ότι το "κοκκινισμένο¨ δεν προκύπτει απαραίτητα από τις προηγούμενες σκέψεις

Χρειάζεται κατά την γνώμη μου (ίσως κάποιοι άλλοι συνάδελφοι να έχουν άλλη γνώμη), ακόμα κάποια διαδικασία για ν' αποδειχθεί.

#5

gavrilos έγραψε:Απ' τη δοσμένη σχέση προκύπτει άμεσα ότι η $\displaystyle{f}$ είναι "επί".

Θα δείξω ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^{3}+e^{x+2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Άρα $\displaystyle{x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow g(x_{1})<g(x_{2})}$ και βλέπουμε ότι $\displaystyle{f(g(x_{1}))<f(g(x_{2}))}$ επομένως και η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Θέτουμε $\displaystyle{x=f(x)-2}$ και παίρνουμε $\displaystyle{f\left((f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1\right)=f(x)\overset{1-1}\Leftrightarrow (f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1=x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f^{-1}(x)}$ στην τελευταία και παίρνουμε $\displaystyle{(f(f^{-1}(x))-2)^{3}+e^{f(f^{-1}(x))}+1=f^{-1}(x)\Leftrightarrow \boxed{f^{-1}(x)=(x-2)^{3}+e^{x}+1}}$ .

Edit:Ευχαριστώ το Θανάση (socrates) για την υπόδειξη μιας σημαντικής παράλειψης.

H προσπάθεια αυτή έχει πολλά κενά.Νομίζω ότι πρέπει να τα πάρεις όλα από την αρχή. Ούτε το ''επί'' είναι προφανές(το αντίθετο, βλέπω ότι θέλει ωραία επιχειρήματα), αλλά και η μονοτονία έχει πρόβλημα(σαφέστατο!).

Η άσκηση είναι απαιτητική και θέλει αρκετή δουλειά , ώστε να πάρουμε μια πλήρη και κατανοητή λύση. Είναι όμως συνάμα και πολύ βασική, διότι δείχνει τι έχουμε πραγματικά κατανοήσει από τις συναρτήσεις.

Μπάμπης

gavrilos · #6

Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.Άλλαξα τελείως τη λύση εκτός από το σημείο εύρεσης της αντίστροφης (που ήταν σωστό άλλωστε).Τώρα είναι εντάξει;

#7

gavrilos έγραψε:Το ότι η συνάρτηση είναι "επί" εξάγεται άμεσα από τη δοσμένη σχέση (αν θέλουμε να της δώσουμε την πραγματική τιμή $\displaystyle{x_{1}}$ βάζουμε $\displaystyle{x=x_{1}-2}$ ).

Το ότι είναι $\displaystyle{1-1}$ μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής (λογικά υπάρχει και απλούστερη διαδρομή αλλά έχω μπερδευτεί λίγο οπότε το "παίρνω αλλιώς"):

Η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^{3}+e^{x+2}+1}$ είναι συνεχής ως πράξη συνεχών συναρτήσεων.Επίσης $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} x^{3}+e^{x+2}+1=\lim_{x\to +\infty} x^{3}+\lim_{x\to +\infty} e^{x+2}+1=+\infty}$

και $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} x^{3}+e^{x+2}+1=\lim_{x\to -\infty} x^{3}+\lim_{x\to -\infty} e^{x+2}+1=-\infty}$ άρα η $\displaystyle{g(x)}$ είναι "επί".

Άρα ορίζεται σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ η $\displaystyle{g^{-1}(x)}$ .

Βάζουμε στη δοσμένη σχέση $\displaystyle{x=g^{-1}(x)}$ κι έχουμε $\displaystyle{f(g(g^{-1}(x)))=g^{-1}(x)+2\Leftrightarrow f(x)=g^{-1}(x)+2}$ .

Όμως η $\displaystyle{g^{-1}{(x)}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ άρα και η $\displaystyle{f(x)}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f(x)-2}$ και παίρνουμε $\displaystyle{f\left((f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1\right)=f(x)\overset{1-1}\Leftrightarrow (f(x)-2)^3+e^{f(x)}+1=x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x=f^{-1}(x)}$ στην τελευταία και παίρνουμε $\displaystyle{(f(f^{-1}(x))-2)^{3}+e^{f(f^{-1}(x))}+1=f^{-1}(x)\Leftrightarrow \boxed{f^{-1}(x)=(x-2)^{3}+e^{x}+1}}$ .

Έτσι μπράβο ! Αυτή είναι λύση!

Α. Για το σημείο :

Το ότι είναι $\displaystyle{1-1}$ μπορούμε να το αποδείξουμε ως εξής (λογικά υπάρχει και απλούστερη διαδρομή αλλά έχω μπερδευτεί λίγο οπότε το "παίρνω αλλιώς"):

ίσως να είχες στο μυαλό σου κάτι τέτοιο :

Έστω $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ .Επειδή η

έχει σύνολο τιμών το

,υπάρχουν ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ , τέτοια ώστε ${{x}_{1}}=g({{y}_{1}})\,\,\,,\,\,\,\,{{x}_{2}}=g({{y}_{2}})\,\,\,$ .Επομένως η σχέση αυτή γράφεται :

$f(g({{y}_{1}}))=f(g({{y}_{2}}))\Leftrightarrow {{y}_{1}}+2={{y}_{2}}+2\Leftrightarrow {{y}_{1}}={{y}_{2}}$

Άρα $g({{y}_{1}})=g({{y}_{2}})\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$

Β. Μια μικρή βελτίωση στη διατύπωση :

α) Το ότι η συνάρτηση είναι "επί" εξάγεται άμεσα από τη δοσμένη σχέση (αν θέλουμε να της δώσουμε την πραγματική τιμή $\displaystyle{x_{1}}$ βάζουμε $\displaystyle{x=x_{1}-2}$ )

Εδώ καλύτερα είναι να γράψεις :

αν θέλουμε η συνάρτηση να πάρει την πραγματική τιμή $\displaystyle{y_{1}}$ , αρκεί να θέσουμε $\displaystyle{x=y_{1}-2}$ )

Επίσης , στο παρακάτω σημείο αξίζει μια, φιλική πάντα, σημείωση :

β) Θέτουμε $\displaystyle{x=f(x)-2}$ και παίρνουμε

Αυτό καλύτερα να το λέμε έτσι :

Θέτουμε όπου το $\displaystyle{ f(x)-2}$ και παίρνουμε

Αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος, αν κάπου η άσκηση δυσκολέψει και χαθεί ο έλεγχος, να πάρεις την παραπάνω σχέση ως ισότητα συναρτήσεων ή ως εξίσωση και να μπλέξεις άσκοπα.

Δεν βλέπω κάτι άλλο να θέλει αλλαγή. Χαίρομαι που κατάφερες να τιθασσεύσεις μια τόσο απαιτητική άσκηση. Θα πετύχεις !

( Αν όντως όπως νομίζω δίνεις εξετάσεις φέτος, ο λόγος που κάνω αυτά τα σχόλια είναι μόνο για να ξέρεις πώς περίπου παρουσιάζεται ολοκληρωμένα μια σωστή λύση.Στις Πανελλήνιες τα ουσιαστικά βήματα στη λύση μιας άσκησης θέλουν και την απαραίτητη αιτιολόγηση, όχι φλυαρίες βέβαια, αλλά μια ικανοποιητική , σύντομη έστω, εξήγηση κάθε μας ισχυρισμού, που δεν άμεση απόρροια θεωρήματος ή ορισμού.Αν δεν δίνεις, τότε τα σχόλια ας τα γνωρίζουν οι άλλοι υποψήφιοι μαθητές της σελίδας μας).

Καλή μελέτη !!!

Μπάμπης

styt_geia · #8

Από την στιγμή που έχουμε δείξει ότι ορίζεται η $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ θα ήταν λάθος να πούμε ότι

$f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right) = x+2 \Leftrightarrow f^{-1}\left(f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right)\right)= f^{-1}(x+2) \Leftrightarrow$

$x^3+e^{x+2}+1=f^{-1}(x+2)$

και θέτοντας όπου

το

τελικά

$f^{-1}(x)= (x-2)^3+e^{x}+1,\,\,x \in \mathbb{R}$ ;

#9

styt_geia έγραψε:Από την στιγμή που έχουμε δείξει ότι ορίζεται η $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ θα ήταν λάθος να πούμε ότι

$f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right) = x+2 \Leftrightarrow f^{-1}\left(f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right)\right)= f^{-1}(x+2) \Leftrightarrow$

$x^3+e^{x+2}+1=f^{-1}(x+2)$

και θέτοντας όπου το τελικά

$f^{-1}(x)= (x-2)^3+e^{x}+1,\,\,x \in \mathbb{R}$ ;

Κώστα, αυτό που προέχει είναι να ξέρουμε το σύνολο τιμών. Χωρίς αυτό, δεν μπορούμε να γράψουμε τη σχέση :

$f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right) = x+2 \Leftrightarrow f^{-1}\left(f \left ( x^3+e^{x+2}+1 \right)\right)= f^{-1}(x+2) \Leftrightarrow$

$x^3+e^{x+2}+1=f^{-1}(x+2)$

διότι δεν ξέρουμε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ , οπότε δεν μπορούμε να συνθέσουμε στα δύο μέλη με την $f^{-1}$ . Μπορούμε όμως, τώρα που το βλέπω, να πάρουμε την ίδια σχέση από τον ορισμό της αντίστροφης, αποφεύγοντας να συνθέσουμε, και μετά να κάνουμε αυτό που λες. Είναι κάπως λεπτά και δυσνόητα σημεία αυτά και θέλουν καλό ψάξιμο.

Μπάμπης

Άλλη μια με αντίστροφη

Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Re: Άλλη μια με αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση