2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Νοέμ 26, 2014 11:17 pm

ΘΕΜΑ 2_17664

( Η λύση του Γ. Λέκκα σε Latex )

Δίνονται οι γωνίες \displaystyle{\omega ,{\rm{ }}\theta {\rm{ }}\mu \varepsilon {\rm{ }}\sigma \upsilon \nu \omega  \ne 0}και \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta  \ne 0}, για τις οποίες ισχύει: \displaystyle{\omega  + \theta  = {135^0}}
Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{\varepsilon \varphi (\omega  + \theta ) =  - 1} (Μονάδες 10)
β) \displaystyle{\varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \theta  + 1 = \varepsilon \varphi \omega  \cdot \varepsilon \varphi \theta } (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \displaystyle{\varepsilon \varphi (\omega  + \theta ) = \varepsilon \varphi {135^0} = \varepsilon \varphi ({180^0} - {45^0}) =  - \varepsilon \varphi {45^0} =  - 1}
β) Από τον τύπο \displaystyle{\varepsilon \varphi (\alpha  + \beta ) = \frac{{\varepsilon \varphi \alpha  + \varepsilon \varphi \beta }}{{1 - \varepsilon \varphi \alpha \varepsilon \varphi \beta }}\,} και το (α) παίρνουμε:
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \varepsilon \varphi (\omega  + \theta ) =  - 1 \Rightarrow \frac{{\varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \theta }}{{1 - \varepsilon \varphi \omega  \cdot \varepsilon \varphi \theta }} =  - 1 \Rightarrow \varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \theta  =  - \left( {1 - \varepsilon \varphi \omega  \cdot \varepsilon \varphi \theta } \right) \Rightarrow  \\  
 \varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \theta  =  - 1 + \varepsilon \varphi \omega \varepsilon \varphi \theta  \Rightarrow  \\  
 \end{array}}
\Rightarrow   \displaystyle{\varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \theta  + 1 = \varepsilon \varphi \omega \varepsilon \varphi \theta }


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Νοέμ 30, 2014 9:47 pm

pap65 έγραψε:ΘΕΜΑ 17652


Δίνεται γωνία \omega που ικανοποιεί τη σχέση:
\displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega  \right)}^{2}}=1}
α) Να αποδείξετε ότι είτε \displaystyle{\eta \mu \omega =0} είτε\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0} . (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας \omega. (Μονάδες 12)


ΛΥΣΗ

Α) Είναι \displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega  \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \eta {{\mu }^{2}}\omega +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\omega+ 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1}

\displaystyle{\Leftrightarrow 1+2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1\Leftrightarrow 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =0}

\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu \omega =0} ή \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0}

Β) Αν \displaystyle{\eta \mu \omega =0\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi } ή \displaystyle{\omega =2\kappa \pi +\pi =\left( 2\kappa +1 \right)\pi } ,\kappa \in \mathbb{Z} .

Γενικά \omega =\kappa \pi , \kappa \in \mathbb{Z}
(Δη λαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του \pi )

Αν \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega =\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{2}} ,\kappa \in \mathbb{Z} .

Γενικά \omega =\kappa \pi +\frac{\pi }{2} , \kappa \in \mathbb{Z}

( Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας \omega θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την σχέση \omega =\kappa \frac{\pi }{2} , \kappa \in \mathbb{Z}. )
Ας δούμε το σημείο αυτό της εκφώνησης:

α) Να αποδείξετε ότι είτε \displaystyle{\eta \mu \omega =0} είτε\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0}

Αυτό το ... "είτε".... " είτε"..., δεν παραπέμπει σε αποκλειστική διάζευξη;

Αν απαντήσουμε ναι, τότε πρέπει να συμπληρωθεί η λύση. Αν απαντήσουμε όχι, τότε τι εξυπηρετεί αυτή η διατύπωση;


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Νοέμ 30, 2014 10:53 pm

rek2 έγραψε:
pap65 έγραψε:ΘΕΜΑ 17652


Αυτό το ... "είτε".... " είτε"..., δεν παραπέμπει σε αποκλειστική διάζευξη;
Νομίζω ότι είναι ατόπημα της εκφώνησης .
Οι μαθητές , εξάλλου , δεν είναι είναι εξοικειωμένοι πλήρως με την αποκλειστική διάζευξη .
Δεν υπάρχει στο εισαγωγικό κεφάλαιο της Α λυκείου , αλλά μόνο σαν εφαρμογή στις πιθανότητες .

Από την άλλη ο θεματοδότης καλύπτεται από αυτό
......Αν το "ή", που χρησιμοποιούμε σε μια σύνθετη πρόταση, είναι εγκλειστικό ή αποκλειστικό γίνεται αντιληπτό από το πλαίσιο εντός του οποίου εκφέρεται η πρόταση αυτή.
Υπάρχουν και άλλες λέξεις ή διατάξεις λέξεων που έχουν την ίδια λογική συμπεριφορά με τη λέξη ή, που περιγράφεται από τον ίδιο πίνακα αληθείας, όπως για παράδειγμα η λέξη είτε. Αυτές μπορεί να έχουν λεπτές σημασιολογικές διαφοροποιήσεις από το σύνδεσμο «...ή...», αλλά έχουν ακριβώς την ίδια λογική συμπεριφορά με αυτόν, η οποία περιγράφεται από τον πίνακα 7. Για το λόγο αυτό θεωρούνται από άποψη λογικής συμπεριφοράς διαζεύξεις .....


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
akis_man
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Μάιος 04, 2011 1:35 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από akis_man » Δευ Δεκ 01, 2014 10:17 am

Νέα θέματα Άλγεβρας Β Λυκείου από την τράπεζα θεμάτων

GI_V_ALG_2_20329
GI_V_ALG_2_20328
GI_V_ALG_2_19913
τελευταία επεξεργασία από akis_man σε Δευ Δεκ 01, 2014 11:33 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κλεάνθης Μανωλόπουλος

"Οι λέξεις είναι ένα εντελώς ασαφές υποκατάστατο για τις μαθηματικές εξισώσεις."
Isaac Asimov, 1920-1992
Άβαταρ μέλους
akis_man
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Μάιος 04, 2011 1:35 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από akis_man » Δευ Δεκ 01, 2014 11:27 am

ΘΕΜΑ: GI_V_ALG_2_20328


Δίνεται το σύστημα: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\lambda x + y = 2}\\ 
{\lambda x + \lambda y = \lambda  + 1} 
\end{array}} \right., με παράμετρο \lambda  \in R.

α) Να αποδείξετε ότι για τις ορίζουσες D,{D_x},{D_y} του συστήματος ισχύουν:
\displaystyle{D = \lambda \left( {\lambda  - 1} \right)}, \displaystyle{{D_x} = \lambda  - 1}, {D_y} = \lambda \left( {\lambda  - 1} \right)
(Μονάδες 15)

β) Αν είναι \lambda  \ne 0 και \lambda  \ne 1, τότε να λύσετε το σύστημα.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

α) Οι ορίζουσες είναι:
D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
\lambda &1\\ 
\lambda &\lambda  
\end{array}} \right| = {\lambda ^2} - \lambda  = \lambda \left( {\lambda  - 1} \right)

{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
2&1\\ 
{\lambda  + 1}&\lambda  
\end{array}} \right| = 2\lambda  - \left( {\lambda  + 1} \right) = 2\lambda  - \lambda  - 1 = \lambda  - 1

{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
\lambda &2\\ 
\lambda &{\lambda  + 1} 
\end{array}} \right| = \lambda \left( {\lambda  + 1} \right) - 2\lambda  = {\lambda ^2} + \lambda  - 2\lambda  = {\lambda ^2} - \lambda  = \lambda \left( {\lambda  - 1} \right)

β) Για \lambda  \ne 0 και \lambda  \ne 1 έχουμε ότι D \ne 0, οπότε το σύστημά μας θα έχει μοναδική λύση \left( {x,y} \right), με x = \frac{{{D_x}}}{D} και y = \frac{{{D_y}}}{D}.

x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\lambda  - 1}}{{\lambda \left( {\lambda  - 1} \right)}} = \frac{1}{\lambda }

y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{\lambda \left( {\lambda  - 1} \right)}}{{\lambda \left( {\lambda  - 1} \right)}} = 1

Άρα \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{1}{\lambda },1} \right), \lambda  \in  - \left\{ {0,1} \right\}.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_20328.docx
(64.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 102 φορές
GI_V_ALG_2_20328_SOL.pdf
(112.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές


Κλεάνθης Μανωλόπουλος

"Οι λέξεις είναι ένα εντελώς ασαφές υποκατάστατο για τις μαθηματικές εξισώσεις."
Isaac Asimov, 1920-1992
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Δευ Δεκ 01, 2014 4:58 pm

Ετοιμάζω την 4_20337

Άκυρο. Έχει ήδη γίνει στο σωστό μέρος!
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Τρί Δεκ 02, 2014 12:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Δευ Δεκ 01, 2014 6:02 pm

Καλησπέρα σας. Ανεβάζω την 4_20336 σε Word
Συνημμένα
20336.docx
(43.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 102 φορές


Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Δευ Δεκ 01, 2014 10:17 pm

GI_V_ALG_2_19913

Έστω η συνάρτηση f(x)=\left (\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x  \right )^{2}, x\epsilon \mathbb{R}

α) Να αποδείξετε ότι f(x)=1+\eta \mu 2x, για κάθε x\epsilon \mathbb{R} Μονάδες 12

β) Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. Μονάδες 13

ΛΥΣΗ

α) Για κάθε x\epsilon \mathbb{R} : f(x)=\left (\eta \mu x+\sigma \upsilon \nu x  \right )^{2}=\eta \mu ^{2}x+2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu ^{2}x=

=\left ( \eta \mu ^{2}x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x \right )+ 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = 1 + \eta \mu 2x

β) Η συνάρτηση g(x)=\eta \mu 2x έχει μέγιστη τιμή 1, ελάχιστη τιμή -1 και περίοδο \frac{2\pi }{2}=\pi,

οπότε και η συνάρτηση f(x)=1+\eta \mu 2x = 1 + g(x) έχει μέγιστη τιμή 1+1=2, ελάχιστη τιμή 1-1=0

και περίοδο \pi.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_19913.docx
(34.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 110 φορές
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Δευ Δεκ 01, 2014 11:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Θοδωρής Καραμεσάλης
Άβαταρ μέλους
akis_man
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Μάιος 04, 2011 1:35 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από akis_man » Δευ Δεκ 01, 2014 10:34 pm

Ετοιμάζω την 4_20337
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα σας. Ανεβάζω την 4_20336 σε Word
Κύριε Λέκκα και pap65, αν μου επιτρέπεται, ο χώρος που ανεβάσατε τις λύσεις σας, είναι λάθος, διότι εδώ ανεβαίνουν ασκήσεις από το 2ο θέμα της Άλγεβρας.

Αν μπορείτε να μεταφέρετε την απάντησή σας (με τα αρχεία), στο σωστό σημείο που είναι εδώ: viewtopic.php?f=147&t=46866&start=40

Σημείωση: Αν και οι ασκήσεις 4_20336 και 4_20337 έχουν λυθεί από τα μέλη george visvikis και Γιώργος Απόκης, δεν πειράζει να τις έχουμε δύο φορές φαντάζομαι...

Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο σας...


Κλεάνθης Μανωλόπουλος

"Οι λέξεις είναι ένα εντελώς ασαφές υποκατάστατο για τις μαθηματικές εξισώσεις."
Isaac Asimov, 1920-1992
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Δεκ 01, 2014 10:56 pm

Ετοιμάζω την GI_V_ALG_2_20329


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Τρί Δεκ 02, 2014 7:04 am

akis_man έγραψε:
Ετοιμάζω την 4_20337
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα σας. Ανεβάζω την 4_20336 σε Word
Κύριε Λέκκα και pap65, αν μου επιτρέπεται, ο χώρος που ανεβάσατε τις λύσεις σας, είναι λάθος, διότι εδώ ανεβαίνουν ασκήσεις από το 2ο θέμα της Άλγεβρας.

Αν μπορείτε να μεταφέρετε την απάντησή σας (με τα αρχεία), στο σωστό σημείο που είναι εδώ: viewtopic.php?f=147&t=46866&start=40

Σημείωση: Αν και οι ασκήσεις 4_20336 και 4_20337 έχουν λυθεί από τα μέλη george visvikis και Γιώργος Απόκης, δεν πειράζει να τις έχουμε δύο φορές φαντάζομαι...

Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο σας...
KAΛΗΜΕΡΑ. Έχετε δίκιο, το είδα εκ των υστέρων ότι ήταν σε λάθος σημείο. Επειδή όμως ΌΤΑΝ ΘΈΛΗΣΑ να την μεταφέρω στο 4ο ΑΛΓΕΒΡΑΣ είχε λυθεί, δεν είχε νόημα η μεταφορά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4413
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 02, 2014 9:54 am

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο σας...
KAΛΗΜΕΡΑ. Έχετε δίκιο, το είδα εκ των υστέρων ότι ήταν σε λάθος σημείο. Επειδή όμως ΌΤΑΝ ΘΈΛΗΣΑ να την μεταφέρω στο 4ο ΑΛΓΕΒΡΑΣ είχε λυθεί, δεν είχε νόημα η μεταφορά.
Γιώργο καλημέρα. Αν θες, μετάφερε τη λύση σου στη συζήτηση του 4ου θέματος. Ήδη την έχω χρησιμοποιήσει, σε συνδυασμό με την άλλη λύση, στο Δελτίο λύσεων.


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τετ Δεκ 03, 2014 11:54 pm

20329
20329.JPG
20329.JPG (31.13 KiB) Προβλήθηκε 2857 φορές
Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-\infty, -2] και γνησίως αύξουσα στο [-2, +\infty)
Έχει ολικό ελάχιστο στο -2 με f(-2) = 0.

β) Η f πρέπει να μετατοπιστεί 5 μονάδες δεξιά και 2 κάτω, δηλαδή: g(x) = f(x-5) -2.
Ειδικότερα για f(x) = |x+2| έχουμε g(x) = |x-3| - 2.
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Πέμ Δεκ 04, 2014 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Δεκ 04, 2014 2:38 pm

Μετά από επισήμανση του dimkat, έκανα μια προσθήκη στην άσκηση 17709


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιαν 24, 2015 6:31 pm

2_22680

Δίνονται τα πολυώνυμα:
\displaystyle{P(x) =  - 2{x^3} + {{\rm{\lambda }}^2}({x^2} - 1) + {\rm{\lambda (}}{{\rm{x}}^3} - 1) + {\rm{\lambda  + 9}}} και \displaystyle{Q(x) = ({\rm{\lambda }} + 12){x^2} + (\lambda  - 2){x^3} + ({\lambda ^2} - 9)x\,\,\,,\,\,\,\,\lambda  \in R}
α) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι και τα δύο πολυώνυμα είναι 3ου βαθμού.
Συμφωνείτε με την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\lambda } για την οποία τα πολυώνυμα \displaystyle{P(x)} και \displaystyle{Q(x)} είναι ίσα. (Μονάδες 12)

Λύση
α) Μετά τις πράξεις είναι : \displaystyle{P(x) = (\lambda  - 2){x^3} + {{\rm{\lambda }}^2}{x^2} - {\lambda ^2}{\rm{ + 9}}}
και \displaystyle{Q(x) = (\lambda  - 2){x^3} + ({\rm{\lambda }} + 12){x^2} + ({\lambda ^2} - 9)x}
Επομένως
Αν \displaystyle{\lambda  \ne 2} είναι και τα δύο τρίτου βαθμού ενώ αν \displaystyle{\lambda  = 2} είναι και τα δύο δευτέρου βαθμού .
Επομένως ούτε διαφωνώ , ούτε συμφωνώ με την άποψη του μαθητή , αφού άλλοτε είναι σωστή και άλλοτε λάθος .
(Εδώ , λείπει από την εκφώνηση το «για κάθε \displaystyle{\lambda  \in R}» ή το «πάντα» )
β) Πρέπει και αρκεί :
\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {{\rm{\lambda  - 2 = \lambda  - 2}}}  \\ 
   {{\lambda ^2} = \lambda  + 12}  \\ 
   {{\lambda ^2} - 9 = 0}  \\ 
   { - {\lambda ^2} + 9 = 0}  \\ 
\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {\lambda  =  - 3 \vee \lambda  = 4}  \\ 
   {\lambda  =  - 3 \vee \lambda  = 3}  \\ 
\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \lambda  =  - 3}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8435
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 28, 2015 6:01 pm

Άσκηση 2_22681

Δίνεται το πολυώνυμοP(x) = x^ 3 + ax^ 2 + \beta x + 2. Αν το P(x) έχει παράγοντα το x + 1 και P(2) = 18, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι a = 1 και\beta = 2 (Μονάδες 10)
β) Να λύσετε την εξίσωση: P(x) = 0 (Μονάδες 8)
γ) Να λύσετε την ανίσωση: P(x) ≤ 0 (Μονάδες 7)

Λύση:

α) Από την υπόθεση έχουμε \displaystyle{P( - 1) = 0 \Leftrightarrow  - 1 + a - \beta  + 2 = 0 \Leftrightarrow a - \beta  =  - 1} και \displaystyle{P(2) = 18 \Leftrightarrow 8 + 4a + 2\beta  + 2 = 18 \Leftrightarrow 2a + \beta  = 4}.
Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις και βρίσκουμε a=1 και αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο, \beta =2.

β) Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{{x^3} + {x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2}(x + 1) + 2(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} + 2) = 0 \Leftrightarrow } x=-1 (αφού \displaystyle{{x^2} + 2 \ne 0,} για κάθε x\in R).

γ) \displaystyle{P(x) \le 0 \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} + 2) \Leftrightarrow x \le  - 1} (αφού \displaystyle{{x^2} + 2> 0,} για κάθε x\in R)

...Αν και δεν έχει νόημα αφού καταργείται η Τράπεζα θεμάτων
Συνημμένα
ALG_2_22681.docx
(116.66 KiB) Μεταφορτώθηκε 75 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες