κυρτη

Atlas · #1

Έστω συνάρτηση

κυρτή και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$
τέτοια ώστε: $f(\alpha ) = 1$ και $f(\beta ) = 0$ .
Να αποδείξετε ότι:
$\int_{_{{\rm{ \alpha }}}}^{^{{\rm{ \beta }}}} {{f^2}(t)dt \le \frac{2}{3}} \int_{_{{\rm{ \alpha }}}}^{^{{\rm{ \beta }}}} {f(t)dt}$
(άλυτη)

dennys · #2

Mε Θ.Μ.Τ . στο διάστημα $[x,b]: f(b)-f(x)=(b-x)f{'}(\xi)$

και επειδή η πρώτη παράγωγος είναι γν.α'υξουσα ,'εχουμε

$f(b)-f(x)\ge (b-x)f{'}(x)\Rightarrow f(x)\le f(b)+(x-b)f{'}(x)$

πολλαπλασιάζοντας με f>0, f(b)=1

έχουμε $f^2(x)\le f(x)+(x-b)f(x)f{'}(x)$

$f^2(x)\le f(x)+\cfrac{1}{2}(x-b)(f^2(x)){'}$ απο όπου με ολοκλήρωση βγαίνει η ζητουμένη .

#3

Atlas έγραψε:Έστω συνάρτηση κυρτή και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$
τέτοια ώστε: $f(\alpha ) = 1$ και $f(\beta ) = 0$ .
Να αποδείξετε ότι:
$\int_{_{{\rm{ \alpha }}}}^{^{{\rm{ \beta }}}} {{f^2}(t)dt \le \frac{2}{3}} \int_{_{{\rm{ \alpha }}}}^{^{{\rm{ \beta }}}} {f(t)dt}$
(άλυτη)

Καλησπέρα. Η άσκηση με απασχολεί τα τελευταία 10 λεπτά. Ερώτηση προς το μέλος που προτείνει. Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο [a,b]

;
Αν ναι κακώς δεν το λέτε στην εκφώνηση.
Αν όχι κακώς το έχετε θέσει σε αυτόν το φάκελο.

#4

άσκηση 7Β18 σελιδα 244 ολοκληρωματα εδώ

κυρτη

κυρτη

Re: κυρτη

Re: κυρτη

Re: κυρτη

Μέλη σε σύνδεση