Βρείτε την πλευρά (29)

Ιστοσελίδα · #1

: p29.png (31.73 KiB) Προβλήθηκε 1400 φορές

Βρείτε το ύψος

τριγώνου

με: $AB = 6,\,AC = 10$ και $B\widehat AC = 2A\widehat CB$ .

Ιστοσελίδα · #2

Έστω $A\widehat{C}B=\hat{\phi}$ και $B\widehat{A}C=2\hat{\phi} .$

Είναι $\dfrac{a}{\sin 2\phi}=\dfrac{6}{\sin\phi} \iff a=\dfrac{6\cdot 2\sin\phi\cdot\cos\phi}{\sin\phi}=12\cos\phi .$

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

$a^2=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cos 2\phi \iff 144\cos^2\phi = 136-120(2\cos^2\phi -1) \iff$

$\cos^2\phi = \dfrac{2}{3} \iff \cos\phi = \dfrac{\sqrt{6}}{3} .$

Ακόμα $\sin\phi = \sqrt{1-\cos^2\phi} = \sqrt{1-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} .$

$AD = 10\sin\phi = \dfrac{10\sqrt{3}}{3} .$

margavare · #3

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο p29.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε το ύψος τριγώνου με: $AB = 6,\,AC = 10$ και $B\widehat AC = 2A\widehat CB$ .

Μιχάλη καλησπέρα!!!. Ας δούμε και κάτι πιο κοντά στη Γεωμετρία

: 4.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές

Έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της υποτείνουσας $\displaystyle{ AC }$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ADC }$ και $\displaystyle{ E \equiv AB \cap DM }$ τότε $\displaystyle{ \boxed{DM = \frac{{AC}} {2} = AM = MC = 5}:\left( 1 \right) }$

και $\displaystyle{ \widehat{AMD}\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa - \sigma \tau o - \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varsigma - \vartriangle DMC} 2\widehat{ACB}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{BAC} = 2\widehat{ACB}} \widehat{AMD} = \widehat{BAC} \Rightarrow \vartriangle EAM }$ ισοσκελές οπότε: $\displaystyle{ \boxed{EM = EA}:\left( 2 \right) }$

Αν $\displaystyle{ BE = x \Rightarrow EA = 6 + x\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right):EA = EM = 5 + ED} 6 + x = 5 + ED \Rightarrow \boxed{ED = x + 1}:\left( 3 \right) }$ . Επίσης από την $\displaystyle{ \left( 1 \right) \Rightarrow \boxed{\widehat{MCD} = \widehat{CDM}\mathop = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \phi \nu } \widehat{BDE} = \widehat\omega }:\left( 4 \right) }$

Στα τρίγωνα : $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \vartriangle BED\xrightarrow{{\nu \mu o\varsigma - \eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu }}\frac{{ED}} {{\eta \mu \widehat{EBD}}} = \frac{{BE}} {{\eta \mu \widehat{BDE}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{EBD} = \pi - \widehat{CBA} \Rightarrow \eta \mu \widehat{EBD} = \eta \mu \widehat{CBA},\;BE = x,ED = x + 1} \frac{{x + 1}} {{\eta \mu \widehat{CBA}}} = \frac{x} {{\eta \mu \omega }} \\ \vartriangle ABC\xrightarrow{{\nu \mu o\varsigma - \eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu }}\frac{{AC}} {{\eta \mu \widehat{CBA}}} = \frac{{AB}} {{\eta \mu \widehat{ACB}}}\mathop \Rightarrow \limits^{AC = 10,AB = 6,\widehat{ACB} = \hat \omega } \frac{{10}} {{\eta \mu \widehat{CBA}}} = \frac{6} {{\eta \mu \omega }} \\ \end{gathered} \right.\; }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{\frac{{x + 1}} {{\eta \mu \widehat{CBA}}}}} {{\frac{{10}} {{\eta \mu \widehat{CBA}}}}} = \frac{{\frac{x} {{\eta \mu \omega }}}} {{\frac{6} {{\eta \mu \omega }}}} \Rightarrow \frac{{x + 1}} {{10}} = \frac{x} {6} \Leftrightarrow 10x = 6\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \ldots x = \frac{3} {2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AE = 6 + \frac{3} {2} \Rightarrow \boxed{AE = \frac{{15}} {2}} \hfill \\ ED = 1 + \frac{3} {2} \Rightarrow \boxed{ED = \frac{5} {2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

Τέλος για το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle AEM }$ από το Θεώρημα του Stewart για το σημείο $\displaystyle{ D \in EM }$ είναι :

$\displaystyle{ ED \cdot AM^2 + DM \cdot AE^2 = EM \cdot \left( {AD^2 + ED \cdot DM} \right) \Rightarrow \ldots AD = \sqrt {\frac{{ED \cdot AM^2 + DM \cdot AE^2 - EM \cdot ED \cdot DM}} {{EM}}} \Rightarrow }$ $\displaystyle{ AD = \sqrt {\frac{{\frac{5} {2} \cdot 5^2 + 5 \cdot \left( {\frac{{15}} {2}} \right)^2 - \frac{{15}} {2} \cdot \frac{5} {2} \cdot 5}} {{\frac{{15}} {2}}}} \Rightarrow \ldots \boxed{AD = \frac{{10\sqrt 3 }} {3}} }$

Φιλικά
Στάθης

S.E.Louridas · #5

Γεωμετρικά.
Έστω

το ύψος και

το συμμετρικό του

ως προς

$\begin{array}{*{20}c} {T \in BC:ST \bot BC,\;\mu \varepsilon \;\vartriangle SBC:SB = SC\;\left( {\angle BSA = 2\angle BCS} \right) \Rightarrow BT = TC \Rightarrow } \\ {} \\ {CT \cdot CB = CE \cdot CS = 48 \Rightarrow CT = 2\sqrt 6 \Rightarrow ST = 2\sqrt 3 \Rightarrow \frac{{AD}} {{2\sqrt 3 }} = \frac{{10}} {6} \Rightarrow AD = \frac{{10\sqrt 3 }} {3}.} \\ \end{array}$

(*) Έχει σημασία και ενδιαφέρον να επισημάνουμε οτι πράγματι, το τρίγωνο ABC

δεν δύναται να είναι ΜΗ οξυγώνιο στην γωνία <A,

από την στιγμή που $<A=2<C\;\kappa\alpha\iota\ AB<AC.$

S.E.Louridas

#6

Ακόμα μία αντιμετώπιση:

Επειδή είναι $\displaystyle{A=2C}$ , είναι $\displaystyle{\sin A=\sin 2C\Rightarrow \sin A=2\sin C\cos C\Rightarrow a=c\frac{a^2+b^2-c^2}{ab},}$ άρα (επειδή είναι $\displaystyle{b\ne c}$ )

$\displaystyle{\boxed{a^2=c(b+c)}}$ .

Επομένως, βρίσκουμε

$\displaystyle{a^2=96.}$ Αφού γνωρίζουμε τις πλευρές του τριγώνου, από τον τύπο του Ήρωνα βρίσκουμε $\displaystyle{(ABC)=20\sqrt{2}.}$

Τελικά, είναι

$\displaystyle{AD=\frac{2(ABC)}{a}=...=\frac{10}{\sqrt{3}}.}$

Ιστοσελίδα · #7

Σας ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις. Ακόμα μία Γεωμετρική αντιμετώπιση.

: p29-sol.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Επί της

παίρνω σημείο

, τέτοιο ώστε BE = BA = 6

. Από εξωτερική γωνία: $A\widehat EB = E\widehat CB + E\widehat BC\mathop \Rightarrow \limits^{A\widehat EB = B\widehat AE = 2E\widehat CB} E\widehat CB = E\widehat BC$ , δηλαδή EB = EC = 6

και

.

Φέρω το ύψος-διάμεσο

του ισοσκελούς EBC

. Από θεώρημα Θαλή θα έχω $CM = 3x,\,MD = 2x$ και λόγω της διαμέσου

,

. Από Πυθαγόρειο στα $ABD,\,ADC$ παίρνω $36 - {x^2} = 100 - 25{x^2} \Rightarrow {x^2} = \displaystyle\frac{8}{3}$ , οπότε $AD = \sqrt {36 - \displaystyle\frac{8}{3}} = \displaystyle\frac{{10\sqrt 3 }}{3}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλημέρα σε όλους.
Ας δούμε μία ακόμη αντιμετώπιση του Θέματος αυτού , που υπέβαλε ο Μιχάλης .. μόλις πριν μια εβδομάδα ( και..

..

χρόνια !)

Εφόσον μετρήσει ως λύση $7_{\eta }$ , πρέπει κατα την γνώμη μου να πιστωθεί στον αγαπητό Νίκο (Φραγκάκη) . Και τούτο διότι , απλά μεταφέρω την δική του ιδέα από το πρόσφατο Θέμα : ''Χριστουγεννιάτικη μπάλα'' ,προσαρμοσμένη στο παρόν αναδυόμενο Θέμα.

: Χριστουγεννιάτικη. ..PNG (8.12 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Ουσιαστικά στο παρόν ζητείται η επίλυση του τριγώνου ABC

, ήτοι ο υπολογισμός της τρίτης πλευράς

Η εφαπτομένη στο

του περίκυκλου του τριγώνου ABC

τέμνει την

στο

.

Τότε τα τρίγωνα SAB , SBC

έχουν ίσες γωνίες στη βάση άρα είναι ισοσκελή : SA=AB=6 , SB=BC=a

και όμοια : $\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{SC}{SB}\Rightarrow a^{2}=6.16\Rightarrow a=4\sqrt{6}$

Με γνωστές τις τρείς πλευρές του τριγώνου ABC

, όλα τα λοιπά στοιχεία του υπολογίζονται.

Ενδεικτικά για το ζητούμενο ύψος

: $\sigma \upsilon \nu A =\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=..=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \eta \mu A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

και στη συνέχεια $\left(BAC \right)=\dfrac{1}{2}AB.AC.\eta \mu A =20\sqrt{2}$

οπότε $AD.BC=2\left(BAC \right) \Rightarrow {\color{blue} AD=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}$

Τέλος ελπίζω στην κατανόηση και την συγκατάθεση , για τις εμπνεύσεις- ιδέες ,κυρίως του Σωτήρη και του Μιχάλη ,
που μετέφερα από το παρόν προς την Χριστουγεννιάτικη μπάλα ...εκεί το όνομα ..εδώ η εικόνα .

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλους .

Φιλικά Γιώργος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο p29.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε το ύψος τριγώνου με: $AB = 6,\,AC = 10$ και $B\widehat AC = 2A\widehat CB$ .

Καλησπέρα...Άλλη μια λύση.

Θεωρούμε τη διχοτόμο $\displaystyle{AP}$ που βρίσκεται δεξιά του $\displaystyle{AD}$ (Είναι $\displaystyle{AC > AB}$ ).Άρα $\displaystyle{\angle APC > {90^0}}$

Ας είναι $\displaystyle{AP = PC = x,PB = y}$ .Προφανώς η $\displaystyle{AB}$ είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle APC}$ .Άρα $\displaystyle{{y\left( {x{\text{ }} + {\text{ }}y} \right){\text{ }} = {\text{ }}36\left( 1 \right)}}$ .

: πλευρά.png (30.85 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Ακόμη από θ.διχοτόμου , $\displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{x + y}}{y} = \frac{8}{3} \Rightarrow x + y = \frac{{8y}}{3}}$ οπότε $\displaystyle{(1) \Rightarrow \frac{{8{y^2}}}{3} = 36 \Rightarrow \boxed{y = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}}}$

Με Γ.Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle APC \Rightarrow A{C^2} = 2{x^2} + 2xDP = 2xDC \Rightarrow 100 = 2\frac{{5\sqrt 6 }}{2}DC \Rightarrow \boxed{DC = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}}}$

Εύκολα τώρα με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle ADC}$ παίρνουμε $\displaystyle{\boxed{AD = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}}}$

Βρείτε την πλευρά (29)

Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Re: Βρείτε την πλευρά (29)

Μέλη σε σύνδεση