ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 48

Μια ακόμα διδακτικού χαρακτήρα άσκηση, γερμανικής προέλευσης !

Πριν να πάει να γράψει το διαγώνισμά του στα μαθηματικά, ένας μαθητής έβαλε στην τσάντα του δύο σακούλες από καραμέλες η καθεμιά.
Κάθε φορά που στην ώρα του διαγωνίσματος εύρισκε δυσκολία, έβαζε -χωρίς να κοιτάζει- το χέρι του στην τσάντα και έπαιρνε στην τύχη μια καραμέλα από όποιο σακουλάκι άγγιζε. Κάποια στιγμή που πήρε μια καραμέλα, διαπίστωσε ότι ήταν η τελευταία από αυτό το σακουλάκι.[/size]
Ποια είναι η πιθανότητα το άλλο σακουλάκι να είχε καραμέλες ακριβώς ;

1ος τρόπος

Τις 15 από τις 20 καραμέλες μπορεί να τις πάρει κατά τρόπους.

Για να αδειάσει το ένα σακουλάκι, χρειάζονται τρόποι, αφού πρέπει να τελειώσει το ένα και να μείνουν καραμέλες στο άλλο.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με το πηλίκο :



2ος τρόπος

Πρόκειται για δυωνυμική κατανομή με μήκος .Ο μαθητής διαλέγει τη σακούλα που θα τελειώσει πρώτη με πιθανότητα .

Αφού θέλουμε η σακούλα να τελειώσει σε 15 δοκιμές, αυτό μπορεί να συμβεί με πιθανότητα :



Ποια από τις δύο εκδοχές αποτελεί τη σωστή λύση και γιατί η άλλη είναι λανθασμένη ;

(Δεν έχω λύση)

Αν σε κάποια φάση έχουν μείνει καραμέλες στο ένα σακούλι και στο άλλο ποια είναι η πιθανότητα στην επόμενη κίνηση να πάρει καραμέλα από το πρώτο σακούλι; Η λογική της πρώτης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι . (Επιλογή καραμέλας ομοιόμορφα στην τύχη.) Η λογική της δεύτερης λύσης είναι ότι η πιθανότητα είναι . (Επιλογή σακουλιού ομοιόμορφα στην τύχη.) Η εκφώνηση θεωρώ ότι υπονοεί το δεύτερο.

Πάντως όποια κατανομή και να επιλέξουμε καμία από τις λύσεις δεν είναι ορθή. Και η δύο λύσεις αγνοούν το γεγονός ότι η τελευταία καραμέλα επιλέχθηκε από το σακούλι που άδειασε. Οπότε οι σωστές απαντήσεις είναι στην πρώτη περίπτωση και στην δεύτερη.

1ος τρόπος
Η λύση θα ήταν το αποτέλεσμα της Υπεργεωμετρικής κατανομής σε ένα πχ. πρόβλημα "Μια σακούλα περιέχει 10 κόκκινες και 10 πράσινες καραμέλες. Αφού εξάγουμε τυχαία 14 καραμέλες, ποιά η πιθανότητα να έχουν μείνει 5 κόκκινες και 1 πράσινη;"

2ος τρόπος
Η λύση θα ήταν το αποτέλεσμα σε ένα ανάλογο πρόβλημα "Ρίχνουμε ένα νόμισμα 14 φορές. Ποιά η πιθανότητα να φέρουμε 9 κορώνες και 5 γράμματα;" Άρα αυτός ο τρόπος φαίνεται να είναι ο κατάλληλος για τη λύση της άσκησης. Επιλογή δηλαδή σακουλιού.

Θεωρώ ότι η σωστή απάντηση είναι :


Θεωρώ σωστό να υπολογίσουμε για καραμέλες συνολικά και όχι και και όχι από το ένα σακούλι και από το άλλο.
(και αντίστοιχα) αφού “Κάποια στιγμή που πήρε μια καραμέλα, διαπίστωσε ότι ήταν η τελευταία από αυτό το σακουλάκι.” Άρα πήρε και την η από το ένα σακουλάκι, άρα και την η και από τα δύο σακουλάκια.
Όσον αφορά ποια κατανομή είναι σωστό να εφαρμόσουμε, θεωρώ την διωνυμική κατανομή, καθώς αυτή:
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας εδώ , σταθερή για κάθε επανάληψη που επαναλαμβάνεται φορές,
Η πιθανότητα τυχαίας επιλογής καραμέλας εξαρτάται μόνο από την τυχαία επιλογή σακουλιού και καθόλου από τον αριθμό των καραμελών που υπάρχουν στο κάθε σακούλι, σαν να ρίχνουμε νόμισμα κεφάλι -γράμματα, “κεφάλι” το ένα σακούλι, “γράμματα” το άλλο σακούλι, όπως σωστά αναφέρει ο Λάμπρος παραπάνω στον ο και μόνο σωστό τρόπο, με όμως συνολικά καραμέλες και αντίστοιχα για το ένα σακούλι.
Στην υπεργεωμετρική κατανομή δεν έχουμε σταθερή πιθανότητα σε κάθε επανάληψη, χωρίς επανάθεση, του πειράματος, τα δύο δείγματα βρίσκονται στον ίδιο χώρο και η κάθε φορά πιθανότητα επιλογής του ενός ή του άλλου αντικειμένου, εξαρτάται από το πλήθος του ενός και του άλλου αντικειμένου, το οποίο είναι διαρκώς μεταβαλλόμενο, γιαυτό και δεν ενδείκνυται στην περίπτωση αυτή.
Εξάλλου είναι γνωστό και λυμένο πρόβλημα, πρόκειται για το πρόβλημα των σπιρτόκουτων του Banach. Αντί σπίρτα καραμέλες και αντί σπιρτόκουτα σακουλάκια, το ίδιο είναι.

[Λάμπρος Ευσταθίου]

ΑΣΚΗΣΗ 48
Θα συμφωνήσω και γω Ευθύμη.. τελικά το κλειδί είναι ότι πρώτα έγινε η επιλογή της 15ης καραμέλας και μετά ήρθε η διαπίστωση οτι αυτή είναι η τελευταία.

[nikos_el]

Άσκηση 59
Είκοσι κληρονόμοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να μοιράσουν την κληρονομιά τους. Συμφωνούν να την μοιράσουν με τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήματα όσα είναι ο μέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μοιρασιά;

[cretanman]

Άσκηση 59
Είκοσι κληρονόμοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι για να μοιράσουν την κληρονομιά τους. Συμφωνούν να την μοιράσουν με τέτοιο τρόπο ώστε ο καθένας να έχει τόσα χρήματα όσα είναι ο μέσος όρος των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η μοιρασιά;

Το πρόβλημα το έχουμε ξαναδεί. Μια και ήμουν μαθητής της Γ Λυκείου όταν το πρόβλημα αυτό τέθηκε στο Θαλή το σχολικό έτος 1998 - 1999, το θυμάμαι. Τέσσερις λύσεις μπορούν να βρεθούν εδώ.

Αλέξανδρος

[Soteris]

Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)

[Λάμπρος Ευσταθίου]

Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)

Αρχικά αποδίδουμε ακριβώς μέρα σε κάθε μάθημα κατά τρόπους. Για κάθε μια τέτοια διάταξη, οι υπόλοιπες μέρες μπορούν να αποδοθούν στα μαθήματα κατά τρόπους. Άρα έχουμε συνολικά τρόπους.

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 61
Αθλητής του πένταθλου προπονείται σχεδόν καθημερινά σε τουλάχιστον ένα άθλημα από τα πέντε. Σε απολογισμό που έκανε για χρονικό διάστημα ημερών διαπίστωσε ότι: Σε κάθε άθλημα προπονήθηκε φορές, σε κάθε δύο αθλήματα φορές, σε κάθε τρία αθλήματα φορές, σε κάθε τέσσερα αθλήματα φορές και φορές προπονήθηκε και στα πέντε αθλήματα.
Υπήρξε ημέρα/ες που δεν προπονήθηκε;

Ευθύμης

[vaskaloy01]

ΑΣΚΗΣΗ 62
Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών με ψηφία διαφορετικά του 1,των οποίων το γινόμενο των ψηφίων είναι 60
Λύση:
Η ανάλυση του αριθμού 60 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων δίνει
60=2.2.3.5
Από αυτή την ανάλυση βλέπουμε ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ,το πολύ, τατραψήφιοι.
• Προφανώς δεν υπάρχουν διψήφιοι αριθμοί με γινόμενο ψηφίων 60 (αυτό προκύπτει άμεσα από τους πίνακες πολλαπλασιασμού)
• Οι ζητούμενοι τριψήφιοι αριθμοί πρέπει να έχουν ψηφία
4(=2.2), 3 , 5 ή 2,6(=2.3), 5
Οι δύο αυτές τριάδες δημιουργούν 3! +3!=6+6=12 τριψήφιους αριθμούς με γινόμενο ψηφίων 60
• Οι τετραψήφιοι αριθμοί θα έχουν ψηφία 2,2,3,5
Θα αρχίσουμε τοποθετώντας τα ψηφία 2 και 2.
Επειδή οι ζητούμενοι αριθμοί είναι τετραψήφιοι το πρώτο 2 μπορεί να τοποθετηθεί με 4 τρόπους, ενώ το δεύτερο με 3 τρόπους, οπότε από την πολλαπλασιαστική αρχή απαρίθμησης τοποθετούνται με 4.3=12 τρόπους. Τα ψηφία όμως είναι ίδια, οπότε οι 12 τρόποι, ανά δύο ταυτίζονται, συνεπώς τα ψηφία 2 και 2 τοποθετούνται με 6 τρόπους.
Για κάθε έναν από αυτούς τους 6 τρόπους έχουμε 2 τρόπους να τοποθετήσουμε το 3 και μία μονό θέση για το 5, οπότε το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών με γινόμενο 60 είναι
6.2.1=12
Τελικά το ζητούμενο πλήθος είναι 3!+3! +12=6+6+12=24 αριθμοί.

[socrates]

Άσκηση 63
Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.

[socrates]

Άσκηση 64
Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών όπου υποσύνολα του συνόλου για τα οποία δεν ισχύει ούτε ούτε

[Soteris]

Άσκηση 63
Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο.

Όλοι οι τριψήφιοι αριθμοί είναι . Το κάθε ψηφίο από το σύνολο εμφανίζεται φορές σε μονάδες και δεκάδες, ενώ το κάθε ψηφίο από το σύνολο εμφανίζεται φορές στις εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών είναι .

Όλοι οι τριψήφιοι με άρτια ψηφία είναι . Το κάθε ψηφίο από το σύνολο εμφανίζεται φορές σε μονάδες και δεκάδες, ενώ το κάθε ψηφίο από το σύνολο εμφανίζεται φορές στις εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών με άρτια ψηφία είναι .

Όλοι οι τριψήφιοι με περιττά ψηφία είναι . Το κάθε ψηφίο από το σύνολο εμφανίζεται φορές σε μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες. Συνεπώς, το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών με άρτια ψηφία είναι .

Τελικά, το άθροισμα των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα άρτιο και τουλάχιστον ένα περιττό ψηφίο είναι .

[socrates]

Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία και έχουν άθροισμα ψηφίων

[socrates]

Άσκηση 66
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών με ψηφία από το σύνολο και στους οποίους κάθε ψηφίο εμφανίζεται δύο τουλάχιστον φορές.

[socrates]

Άσκηση 67
Βρείτε το πλήθος των πενταψήφιων αριθμών που περιέχουν το μπλοκ και διαιρούνται με το

[Soteris]

Άσκηση 65
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών που περιέχουν μια τουλάχιστον φορά τα ψηφία και έχουν άθροισμα ψηφίων

Τα άλλα ψηφία του εξαψήφιου αριθμού πρέπει να είναι , ή .

(i) Εξαψήφιοι με τα ψηφία :
Αν αρχίζουν με ή , έχουμε:
Αν αρχίζουν με έχουμε:

(ii) Εξαψήφιοι με τα ψηφία :
Αν αρχίζουν με ή έχουμε:
Αν αρχίζουν με έχουμε:

(iii) Εξαψήφιοι με τα ψηφία :
Έχουμε:

Σύνολο: εξαψήφιοι αριθμοί με άθροισμα ψηφίων .

Έγιναν οι απαραίτητες διορθώσεις μετά από υπόδειξη της Φωτεινής και του socrates (μου διέφυγε η περίπτωση (iii)).

[Soteris]

Άσκηση 66
Βρείτε το πλήθος των εξαψήφιων αριθμών με ψηφία από το σύνολο και στους οποίους κάθε ψηφίο εμφανίζεται δύο τουλάχιστον φορές.

Οι εξαψήφιοι αυτοί θα αποτελούνται από:

(i) δυάδες ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός )
Έχουμε:

(ii) τριάδες ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός )
Έχουμε:

(iii) τετράδα και δυάδα ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός )
Έχουμε:

(iv) εξάδα ίδιων ψηφίων (π.χ. ο αριθμός )
Έχουμε άλλους αριθμούς

Σύνολο: αριθμοί

[Soteris]

Άσκηση 68

Η πιθανότητα να σταματήσει η μηχανή ενός αεροπλάνου κατά τη διάρκεια της πτήσης του είναι , ανεξάρτητα από τον αριθμό και την ιπποδύναμη των μηχανών του. Για να συνεχίσει να πετά το αεροπλάνο, χρειάζεται τουλάχιστον το της ολικής ιπποδύναμης των μηχανών του. Να βρείτε την πιθανότητα ένα αεροπλάνο να συμπληρώσει το ταξίδι του:
(α) αν έχει δύο μηχανές ίσης ιπποδύναμης
(β) αν έχει τρεις μηχανές και η ιπποδύναμη της μιας είναι ίση με το άθροισμα της ιπποδύναμης των δύο άλλων

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Β', 1992)

[Soteris]

Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)

Ο Αντρέας διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

(i) μέρα σε μαθήματα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΝΠΠΜΠΦΠ) με διαφορετικούς τρόπους

(ii) μέρα σε μαθήματα, μέρες στο τρίτο μάθημα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΦΝΝΠΦΦΜ) με διαφορετικούς τρόπους

(iii) μέρα σε μάθημα και μέρες στα υπόλοιπα μαθήματα (π.χ. ΝΠΠΜΦΜΦ) με διαφορετικούς τρόπους

Σύνολο: διαφορετικούς τρόπους

[ealexiou]

Άσκηση 68

Η πιθανότητα να σταματήσει η μηχανή ενός αεροπλάνου κατά τη διάρκεια της πτήσης του είναι , ανεξάρτητα από τον αριθμό και την ιπποδύναμη των μηχανών του. Για να συνεχίσει να πετά το αεροπλάνο, χρειάζεται τουλάχιστον το της ολικής ιπποδύναμης των μηχανών του. Να βρείτε την πιθανότητα ένα αεροπλάνο να συμπληρώσει το ταξίδι του:
(α) αν έχει δύο μηχανές ίσης ιπποδύναμης
(β) αν έχει τρεις μηχανές και η ιπποδύναμη της μιας είναι ίση με το άθροισμα της ιπποδύναμης των δύο άλλων

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα, Μαθηματικά Β', 1992)

α) Για να σταματήσει το ταξίδι του το αεροπλάνο πρέπει να σταματήσουν και οι δύο μηχανές του, πιθανότητα να συμβεί αυτό , άρα πιθανότητα να συμπληρώσει το ταξίδι του
ή αλλιώς για να συμπληρώσει το ταξίδι του αρκεί να μην σταματήσει η μία, ή να μην σταματήσουν να δουλεύουν και οι δύο
Αθροιστικά

β) Διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις που το ταξίδι ολοκληρώνεται.
i) δεν σταματά καμία μηχανή
ii) σταματά μία από τις μικρές μηχανές και δουλεύουν οι άλλες δύο
iii) σταματούν οι δύο μικρές και δουλεύει η μεγάλη
iv) σταματά η μεγάλη και δουλεύουν οι δύο μικρές
Αθροιστικά

[Μπάμπης Στεργίου]

Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)

Ο Αντρέας διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

(i) μέρα σε μαθήματα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΝΠΠΜΠΦΠ) με διαφορετικούς τρόπους

(ii) μέρα σε μαθήματα, μέρες στο τρίτο μάθημα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΦΝΝΠΦΦΜ) με διαφορετικούς τρόπους

(iii) μέρα σε μάθημα και μέρες στα υπόλοιπα μαθήματα (π.χ. ΝΠΠΜΦΜΦ) με διαφορετικούς τρόπους

Σύνολο: διαφορετικούς τρόπους

Σωτήρη, οι συνδυασμοί μπροστά από το κλάσμα με ποιο σκεπτικό επιλέγονται ; Αφορούν πχ τους τρόπους που διαλέγουμε ένα μάθημα από τα 4 ή κάτι άλλο ;

Μπάμπης

(Δύσκολο πρόβλημα, αλλά καλό !!!)