ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

ealexiou · #201

Soteris έγραψε:Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)

Το μοντέλο είναι

διακεκριμένα σφαιρίδια / ημέρες σε

διακεκριμένα κελιά / μαθήματα, δηλαδή να αποδώσουμε κάθε μια ημέρα σε ένα μάθημα και επειδή ισχύει αυτή η δέσμευση, εφαρμόζουμε Αρχή Συμπερίληψης – Εξαίρεσης (ΑΣΕ) (ή Εγκλεισμού- Αποκλεισμού)
Μπορεί να φτιάξει πρόγραμμα με $4^7- \begin{pmatrix}4 \\1 \end{pmatrix} \times 3^7+$ $\begin{pmatrix}4\\2 \end{pmatrix} \times 2^7-$ $\begin{pmatrix}4 \\3 \end{pmatrix} \times 1^7=8400$ διαφορετικούς τρόπους.

και ένα παράδειγμα

μαθήματα -Μαθηματικά (M),

Φυσική (F)

- σε

ημέρες.
Με ΑΣΕ έχουμε $2^4-\begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}\times1^4=14$ διαφορετικούς τρόπους.
(MMMF, MMFM, MMFF,

Ευθύμης

Soteris · #202

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Soteris έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 60

Ο Αντρέας προετοιμάζεται για τις εξετάσεις στα μαθήματα κατεύθυνσης (Νέα Ελληνικά, Μαθηματικά, Φυσική, Πληροφορική). Θα ετοιμάσει πρόγραμμα μιας εβδομάδας ( μέρες) ώστε να διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Με πόσους τρόπους μπορεί να φτιάξει το πρόγραμμά του;

(Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, Β' Διαγωνισμός Επιλογής IMC Stage III, Απρίλης 2014)
Ο Αντρέας διαβάζει κάθε μέρα ένα μόνο μάθημα, αφιερώνοντας τουλάχιστον μια μέρα για κάθε μάθημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

(i) μέρα σε μαθήματα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΝΠΠΜΠΦΠ) με $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{4!}=840$ διαφορετικούς τρόπους

(ii) μέρα σε μαθήματα, μέρες στο τρίτο μάθημα και μέρες στο τέταρτο μάθημα (π.χ. ΦΝΝΠΦΦΜ) με $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{3!\times2!}=5040$ διαφορετικούς τρόπους

(iii) μέρα σε μάθημα και μέρες στα υπόλοιπα μαθήματα (π.χ. ΝΠΠΜΦΜΦ) με $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\times\dfrac{7!}{2!\times2!\times2!}=2520$ διαφορετικούς τρόπους

Σύνολο: διαφορετικούς τρόπους
Σωτήρη, οι συνδυασμοί μπροστά από το κλάσμα με ποιο σκεπτικό επιλέγονται ; Αφορούν πχ τους τρόπους που διαλέγουμε ένα μάθημα από τα 4 ή κάτι άλλο ;

Μπάμπης

(Δύσκολο πρόβλημα, αλλά καλό !!!)

Μπάμπη,

Για παράδειγμα στο (i), $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=4$ είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε το μάθημα στο οποίο θέλουμε να αφιερώσουμε

μέρες διαβάσματος.

ealexiou · #203

ΑΣΚΗΣΗ 69

Με πόσους τρόπους μπορούμε να πληρώσουμε έναν λογαριασμό

ευρώ χρησιμοποιώντας νομίσματα των 5,10,20,50

ευρώ;

ealexiou · #204

ΑΣΚΗΣΗ 70

Τρεις παίκτες, οι A,B,C

παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο υπάρχουν

σφαιρίδια από τα οποία,

είναι λευκά και

είναι μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους A,B,C

να κερδίσουν:
(α) χωρίς επανάθεση του σφαιριδίου ;
(β) με επανάθεση του σφαιριδίου ;

ealexiou · #205

ΑΣΚΗΣΗ 71

Οι

και

έχουν από

νομίσματα και παίζουν ρίχνοντας ζάρια. Κάθε φορά που έρχεται άθροισμα

ο

δίνει στον

ένα νόμισμα, ενώ όταν έλθει άθροισμα

ο

δίνει ένα νόμισμα στον

. Κερδίζει το παιχνίδι αυτός που θα κερδίσει όλα τα νομίσματα. Ποια η πιθανότητα για τους

και

να κερδίσουν;
(Huygens, 1657)

Soteris · #206

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 70

Τρεις παίκτες, οι παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο υπάρχουν σφαιρίδια από τα οποία, είναι λευκά και είναι μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους να κερδίσουν:
(α) χωρίς επανάθεση του σφαιριδίου ;
(β) με επανάθεση του σφαιριδίου ;

(α) Ο

παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $1^\eta$ ή στην $4^\eta$ ή στην $7^\eta$ προσπάθειά του (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που αφαιρέθηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_A=\dfrac{5}{13}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{212}{429}$

Ο

παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $2^\eta$ ή στην $5^\eta$ ή στην $8^\eta$ προσπάθειά του (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που αφαιρέθηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_B=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{5}{9}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{143}$

O

κερδίζει το παιχνίδι με πιθανότητα $P_C=1-P_A-P_B=1-\dfrac{212}{429}-\dfrac{45}{143}=\dfrac{82}{429}$ .

(β) Ο

παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $1^\eta$ ή στην $4^\eta$ ή στην $7^\eta$ προσπάθειά του ή... (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που εμφανίστηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_A=\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6\times\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{5}{13}\times\left[1+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6+...\right]$
Συνεπώς, $P_A=\dfrac{169}{337}$ .

Ο

παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $2^\eta$ ή στην $5^\eta$ ή στην $8^\eta$ προσπάθειά του ή ...(δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που εμφανίστηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_B=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^4\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^7\times\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{13}\left[1+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6+...\right]$
Συνεπώς, $P_B=\dfrac{104}{337}$ .

O

κερδίζει το παιχνίδι με πιθανότητα $P_C=1-P_A-P_B=1-\dfrac{169}{337}-\dfrac{104}{337}=\dfrac{64}{337}$ .

Έγινε διόρθωση στο (β). Ευχαριστώ τον Ευθύμη (ealexiou) για την παρατήρηση.

ealexiou · #207

Soteris έγραψε:
ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 70

Τρεις παίκτες, οι παίζουν το παρακάτω παιχνίδι. Σε ένα δοχείο υπάρχουν σφαιρίδια από τα οποία, είναι λευκά και είναι μαύρα. Παίρνουν κατά σειρά από ένα σφαιρίδιο και νικητής είναι αυτός που θα πάρει πρώτος λευκό σφαιρίδιο. Ποια είναι η πιθανότητα για τους να κερδίσουν:
(α) χωρίς επανάθεση του σφαιριδίου ;
(β) με επανάθεση του σφαιριδίου ;
(α) Ο παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $1^\eta$ ή στην $4^\eta$ ή στην $7^\eta$ προσπάθειά του (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που αφαιρέθηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_A=\dfrac{5}{13}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{212}{429}$

Ο παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $2^\eta$ ή στην $5^\eta$ ή στην $8^\eta$ προσπάθειά του (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που αφαιρέθηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_B=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{5}{9}+\dfrac{8}{13}\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}\times\dfrac{5}{10}\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{143}$

O κερδίζει το παιχνίδι με πιθανότητα $P_C=1-P_A-P_B=1-\dfrac{212}{429}-\dfrac{45}{143}=\dfrac{82}{429}$ .

(β) Ο παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $1^\eta$ ή στην $4^\eta$ ή στην $7^\eta$ προσπάθειά του ή... (δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που εμφανίστηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_A=\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6\times\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{5}{13}\times\left[1+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6+...\right]$
Συνεπώς, $P_A=\dfrac{169}{337}$ .

Ο παίρνει λευκό σφαιρίδιο στην $2^\eta$ ή στην $5^\eta$ ή στην $8^\eta$ προσπάθειά του ή ...(δεδομένου ότι στις προσπάθειες που προηγήθηκαν της "νικητήριας" τα σφαιρίδια που εμφανίστηκαν ήταν όλα μαύρα).
Έχουμε: $P_B=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^4\times\dfrac{5}{13}+\left(\dfrac{8}{13}\right)^7\times\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{8}{13}\times\dfrac{5}{13}\left[1+\left(\dfrac{8}{13}\right)^3+\left(\dfrac{8}{13}\right)^6+...\right]$
Συνεπώς, $P_B=\dfrac{104}{337}$ .

O κερδίζει το παιχνίδι με πιθανότητα $P_C=1-P_A-P_B=1-\dfrac{169}{337}-\dfrac{104}{337}=\dfrac{64}{337}$ .

Έγινε διόρθωση στο (β). Ευχαριστώ τον Ευθύμη (ealexiou) για την παρατήρηση.

Πολύ ωραία Σωτήρη, συμφωνούμε. (και η παρατήρηση, αφού το δημοσιοποίησε, ήταν απλά να θυμίσω στο Σωτήρη την επανάθεση της μπίλιας στο (β) ερώτημα)

Soteris · #208

Soteris έγραψε:Άσκηση 37

Στο σχήμα φαίνεται μια διάταξη Χ σημείων τα οποία απέχουν μονάδα το καθένα από τα διπλανά τους. Να βρείτε το πλήθος των μη τετριμμένων τριγώνων (δηλ. τρίγωνα με θετικό εμβαδόν) των οποίων οι κορυφές είναι σημεία αυτής της διάταξης.

dots.png (5.59 KiB) Προβλήθηκε 4143 φορές

(Μαθηματικό Βήμα 2012)

Υπάρχουν $\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}=1140$ τρόποι να επιλέξουμε

σημεία από τη διάταξη αυτή. Δεν σχηματίζουν όλες οι τριάδες μη τετριμμένα τρίγωνα (

συνευθειακά σημεία σχηματίζουν τετριμμένο τρίγωνο). Συνεπώς, χρειάζεται να αφαιρέσουμε όλες εκείνες τις τριάδες συνευθειακών σημείων. Θεωρούμε τις παρακάτω

περιπτώσεις, όπως αυτές φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα.

(i) Έχουμε

"μαύρα" ευθύγραμμα τμήματα με

σημεία της διάταξης, άρα υπάρχουν $4\times\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=40$ "μαύρα" τετριμμένα τρίγωνα.
(ii) Έχουμε

"πορτοκαλί" ευθύγραμμα τμήματα με

σημεία της διάταξης, άρα υπάρχουν $5\times\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=20$ "πορτοκαλί" τετριμμένα τρίγωνα.
(iii) Έχουμε

"πράσινα" ευθύγραμμα τμήματα με

σημεία της διάταξης, άρα υπάρχουν $4\times\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=16$ "πράσινα" τετριμμένα τρίγωνα.
(iv) Έχουμε

"μωβ" ευθύγραμμα τμήματα με

σημεία της διάταξης, άρα υπάρχουν

"μωβ" τετριμμένα τρίγωνα.
(v) Έχουμε

"κίτρινα" ευθύγραμμα τμήματα με

σημεία της διάταξης, άρα υπάρχουν

"κίτρινα" τετριμμένα τρίγωνα.
Σύνολο: 40+20+16+4+4=84

τετριμμένα τρίγωνα

Συνεπώς, το πλήθος των μη τετριμμένων τριγώνων, των οποίων οι κορυφές είναι σημεία αυτής της διάταξης είναι: 1140-84=1056

ealexiou · #209

ΑΣΚΣΗΣΗ 72

Σε χωροδικτύωμα $6\times 5\times4$ κόμβων ένα μυρμήγκι θέλει να πάει από τον κάτω,μπροστά και αριστερά κόμβο

στον πάνω, πίσω και δεξιά κόμβο

(

διαγώνιος). Μπορεί να κινηθεί δεξιά, μπροστά ή προς τα πάνω. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Soteris · #210

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΣΗΣΗ 72

Σε χωροδικτύωμα $6\times 5\times4$ κόμβων ένα μυρμήγκι θέλει να πάει από τον κάτω,μπροστά και αριστερά κόμβο στον πάνω, πίσω και δεξιά κόμβο ( διαγώνιος). Μπορεί να κινηθεί δεξιά, μπροστά ή προς τα πάνω. Με πόσους τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό;

Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οποιαδήποτε διαδρομή από το σημείο

στο σημείο

περιέχει

βήματα προς τα δεξιά $\left(\Delta\right)$ ,

βήματα προς τα μπρος $\left(M\right)$ και

βήματα προς τα πάνω $\left(\Pi\right)$ .

Συνεπώς, το πρόβλημα ανάγεται στις αναδιατάξεις των $5 \Delta, 4 M$ και $3 \Pi$ .

Έχουμε: $\dfrac{12!}{5!\times4!\times3!}=27720$ διαφορετικές διαδρομές

: Horodiktiwma.png (34.9 KiB) Προβλήθηκε 4067 φορές

Soteris · #211

ealexiou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69

Με πόσους τρόπους μπορούμε να πληρώσουμε έναν λογαριασμό ευρώ χρησιμοποιώντας νομίσματα των ευρώ;

Για να "δημιουργήσουμε" οποιοδήποτε ποσό χρησιμοποιώντας νομίσματα των 5, 10, 20, 50

ευρώ, θα χρησιμοποιήσουμε τουλάχιστον ένα στοιχείο του πιο κάτω πίνακα (το πολύ ένα στοιχείο από κάθε γραμμή).

: nomismata.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 4033 φορές

Για το ποσό των

ευρώ ένα παράδειγμα βλέπετε πιο κάτω.

: nomismata1.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 4033 φορές

Στο τρίτο σχήμα παρουσιάζεται το γινόμενο των αθροισμάτων των γραμμών του πρώτου σχήματος. Το ανάπτυγμά του αποτελείται από όρους, οι οποίοι είναι το γινόμενο

όρων (ένας από κάθε γραμμή). Επομένως, ο κάθε όρος του γινομένου αντιπροσωπεύει και ένα διαφορετικό συνδυασμό νομισμάτων (στο γινόμενο αυτό περιλαμβάνονται όλοι οι δυνατοί διαφορετικοί συνδυασμοί).

: nomismata2.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 4033 φορές

Αν τώρα με

συμβολίσουμε το νόμισμα των

ευρώ, το γινόμενο αυτό γράφεται:
$\left(1+x+x^2+x^3+...\right)\left(1+x^2+x^4+x^6+...\right)\left(1+x^4+x^8+x^{12}+...\right)\left(1+x^{10}+x^{20}+x^{30}+...\right)$

Έτσι, κάθε συνδυασμός νομισμάτων που αθροίζει

ευρώ, είναι όρος του $x^{16}$ στο πιο κάτω γινόμενο:
$P_1(x)P_2(x)P_3(x)P_4(x)=\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{16}\right)\left(1+x^2+x^4+x^6+...+x^{16}\right)\left(1+x^4+x^8+x^{12}+x^{16}\right)\left(1+x^{10}\right)$

Αρκεί τώρα να βρούμε το συντελεστή του $x^{16}$ . Έχουμε:

$P_3(x)P_4(x)=1+x^{4}+x^8+x^{10}+x^{12}+x^{14}+x^{16}+...$
$P_2(x)P_3(x)P_4(x)=1+x^2+2x^4+2x^6+3x^8+4x^{10}+5x^{12}+6x^{14}+7x^{16}+...$
$P_1(x)P_2(x)P_3(x)P_4(x)=1+x+2x^2+2x^3+4x^4+4x^5+6x^6+6x^7+9x^8+9x^9+13x^{10}+13x^{11}+18x^{12}+18x^{13}+24x^{14}+24x^15+31x^{16}+...$

Τελικά, μπορούμε να πληρώσουμε ένα λογαριασμό

ευρώ (με νομίσματα των 5, 10, 20, 50

ευρώ) με

διαφορετικούς τρόπους.

ealexiou · #212

Πάρα πολύ ωραία Σωτήρη, ιδίως για την άσκηση 69.

Soteris · #213

ealexiou έγραψε:Πάρα πολύ ωραία Σωτήρη, ιδίως για την άσκηση 69.

Σε ευχαριστώ Ευθύμη για τα καλά σου λόγια, τίποτα δεν έκανα.Απλά να πω ότι άλυτες παραμένουν οι ασκήσεις 39, 47, 49, 61, 64, 67

και

(για όσους ενδιαφέρονται να ασχοληθούν). Ελπίζω να μην ξέχασα κάποια.

Soteris · #214

Άσκηση 73

Η τσάντα

περιέχει

κόκκινες και

πράσινες μπάλες, ενώ η τσάντα

περιέχει

κόκκινες και

πράσινες μπάλες.Παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα

και την τοποθετούμε στην τσάντα

. Ανακατεύουμε τις μπάλες στην τσάντα

, παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα

και την τοποθετούμε στην τσάντα

. Στη συνέχεια παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα

. Ποια είναι η πιθανότητα η μπάλα που επιλέξαμε από την τσάντα

να είναι κόκκινη;

ealexiou · #215

Soteris έγραψε:Άσκηση 47

Ένας παίκτης του τένις έχει πιθανότητα $\frac{2}{3}$ να κερδίσει ένα σετ από τον παίκτη . Έναν αγώνα κερδίζει εκείνος ο παίκτης που πρώτος θα κερδίσει τρία σετ. Να βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει τον .

(Βιβλίο Μαθηματικά Επιλογής Γ' Ενιαίου Λυκείου, Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Κύπρου, Έκδοση 2007)

Να μην μένουν παραπονεμένες...

Ο

κερδίζει αν νικήσει σε πέντε σετ στα πέντε σετ, ή τέσσερα σετ στα πέντε ή τρία σετ στα πέντε, άρα η πιθανότητα ο

να κερδίσει τον

είναι:
$P_{A} = \begin{pmatrix}5\\ 5 \end{pmatrix} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 +$ $\ \begin{pmatrix}5\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \left(\dfrac{2}{3} \right)^4 \cdot \dfrac{1}{3} \ +$ $\begin{pmatrix}5\\ 3 \end{pmatrix} \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 =\dfrac{64}{81}$

Soteris · #216

Soteris έγραψε:Άσκηση 47

Ένας παίκτης του τένις έχει πιθανότητα $\frac{2}{3}$ να κερδίσει ένα σετ από τον παίκτη . Έναν αγώνα κερδίζει εκείνος ο παίκτης που πρώτος θα κερδίσει τρία σετ. Να βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει τον .

(Βιβλίο Μαθηματικά Επιλογής Γ' Ενιαίου Λυκείου, Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Κύπρου, Έκδοση 2007)

Να δώσω και μια άλλη λύση..

(i) Ο

κερδίζει το παιχνίδι 3-0

με πιθανότητα: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$

(ii) Ο

κερδίζει το παιχνίδι 3-1

(το τέταρτο σετ κερδίζεται από τον

) με πιθανότητα: $\dfrac{3!}{2!}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\times\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{8}{27}$

(iii) Ο

κερδίζει το παιχνίδι 3-2

(το πέμπτο σετ κερδίζεται από τον

) με πιθανότητα: $\dfrac{4!}{2!\times2!}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{16}{81}$

Aθροιστικά, έχουμε: $P_A=\dfrac{8}{27}+\dfrac{8}{27}+\dfrac{16}{81}=\dfrac{64}{81}$

ealexiou · #217

Soteris έγραψε:Άσκηση 73

Η τσάντα περιέχει κόκκινες και πράσινες μπάλες, ενώ η τσάντα περιέχει κόκκινες και πράσινες μπάλες.Παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα και την τοποθετούμε στην τσάντα . Ανακατεύουμε τις μπάλες στην τσάντα , παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα και την τοποθετούμε στην τσάντα . Στη συνέχεια παίρνουμε στην τύχη μια μπάλα από την τσάντα . Ποια είναι η πιθανότητα η μπάλα που επιλέξαμε από την τσάντα να είναι κόκκινη;

Δεδομένα τσάντα

περιέχει $4K,3\Pi$ και η τσάντα

$3K,4\Pi$
Από την

τσάντα βγάζουμε :

μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{4}{7}$ , και την τοποθετούμε στην

τσάντα, η

έχει $3K,3\Pi$ μπάλες και η

έχει $4K,4\Pi$ μπάλες.

Από την τσάντα

βγάζουμε:

μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{7}$ και την τοποθετούμε στην τσάντα $A (4K,3\Pi)$ ,
από όπου βγάζουμε

μπάλα με πιθανότητα $\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{8}{49}$

1.2)

$\Pi$ μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{7}$ και την τοποθετούμε στην $A(3K,4\Pi)$ ,
από όπου βγάζουμε

μπάλα με πιθανότητα $\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{49}$

ή

$\Pi$ μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{3}{7}$ και την τοποθετούμε στην

τσάντα, η

έχει $4K,2\Pi$ και η

έχει $3K,5\Pi$

Από την τσάντα

βγάζουμε:

μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{9}{56}$ και την τοποθετούμε στην τσάντα $A (5K,2\Pi)$ ,
από όπου βγάζουμε

μπάλα με πιθανότητα $\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{9}{56}=\dfrac{45}{392}$

2.2)

$\Pi$ μπάλα, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{5}{8}=\dfrac{15}{56}$ και την τοποθετούμε στην τσάντα $A (4K,3\Pi)$ ,
από όπου βγάζουμε

μπάλα με πιθανότητα $\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{15}{56}=\dfrac{15}{98}$

Αθροιστικά η πιθανότητα για κόκκινη μπάλα είναι $\dfrac{8}{49}+\dfrac{6}{49}+\dfrac{45}{392}+\dfrac{15}{98}=\dfrac{31}{56}=0.55357$

Ζαλίστηκα λίγο με το πέρα- δώθε στις τσάντες

Soteris · #218

Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί 10, 11, 12, 13, ..., 99

. Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;

ealexiou · #219

Soteris έγραψε:Άσκηση 49

Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξετε από ιππότες, οι οποίοι κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι, αν δεν μπορούν να επιλεγούν "γειτονικοί" ιππότες (δηλαδή αν επιλεγεί ο δεν επιτρέπεται να επιλεγεί αυτός που κάθεται είτε στα δεξιά του είτε στα αριστερά του);

Αριθμώ τους ιππότες κατά κυκλική σειρά 1,2,3,...,15,(16=1)

Θεώρησα ότι η σειρά επιλογής ιπποτών δεν παίζει ρόλο π.χ η επιλογή (1,3,5,7)=(1,5,3,7)=...

Σε κάθε επιλογή τεσσάρων (4)

ιπποτών από τον δεύτερο και μετά, x,2,x,4,x,6,x,(8 ,9,10,11,12,13,14,15

,δεν μπορούν να επιλεγούν τέσσερις από τους

, άρα επιλέγει

ιππότες από

με $\begin{pmatrix}11 \\4\end{pmatrix}=330$ διαφορετικούς τρόπους και επιλέγοντας τον πρώτο 1,x,3,x,5,x,(7,8,9,10,11,12,13,14)

μπορεί να επιλέξει τους άλλους τρεις ιππότες από δέκα με $\begin{pmatrix}10 \\3\end{pmatrix}=120$ τρόπους.
Άρα συνολικά μπορεί να επιλέξει με 330+120=450

διαφορετικούς τρόπους.
Έγινε συμπλήρωση της λύσης μετά από παρατήρηση-προτροπή του Σωτήρη για "καλή συνέχεια",

, πράγμα που ήταν σχετικά εύκολο καθώς είχα κάνει λεπτομερή ανάλυση του θέματος.

ealexiou · #220

Soteris έγραψε:Άσκηση 74

Σε μία κάλπη υπάρχουν οι λαχνοί . Επιλέγουμε στην τύχη δύο από αυτούς. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που αναγράφονται στους δύο λαχνούς που επιλέγηκαν να είναι άρτιος αριθμός;

Στη αρχή λες, άρτιος επί άρτιο, άρτιος επί περιττό, περιττός επί άρτιο, μας δίνουν άρτιο γινόμενο και περιττός επί περιττό μας δίνουν περιττό γινόμενο, άρα πιθανότητα για άρτιο γινόμενο $\dfrac{3}{4}$ .
Τι πρόβλημα είναι αυτό; Αλλά...

Έχουμε

$\Pi$ -εριττούς και

-ρτιους αριθμούς στους

λαχνούς.

Επιλέγοντας δύο λαχνούς οι δυνατές επιλογές είναι $(A,A),(A,\Pi),(\Pi,A),(\Pi,\Pi)$

i) (A,A)

, πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{44}{89}=\dfrac{22}{89}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

ii) $(A,\Pi)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{45}{89}=\dfrac{45}{178}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

iii) $(\Pi,A)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{45}{89}=\dfrac{45}{178}$ , αποτέλεσμα γινομένου άρτιος αριθμός.

iv) $(\Pi,\Pi)$ , πιθανότητα να συμβεί αυτό $\dfrac{45}{90}\cdot\dfrac{44}{89}=\dfrac{22}{89}$ , αποτέλεσμα γινομένου περιττός αριθμός.

Άρα η πιθανότητα για άρτιο γινόμενο των αριθμών των δύο λαχνών είναι:

$\dfrac{\dfrac{22}{89}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{45}{178}}{\dfrac{22}{89}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{45}{178}+\dfrac{22}{89}}=$ $\dfrac{\dfrac{67}{89}}{\dfrac{178}{178}}=\dfrac{67}{89}=0.75281...$

Αυτό ήταν ή έχω αστοχήσει;...

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Μέλη σε σύνδεση