Το x και οι τιμές του.

T-Rex · #1

Να βρεθούν οι τιμές του

και άθροισμα όλων των τιμών του

που ικανοποιούν την εξίσωση
$\left(x^{2}-6x+6 \right)^{x^{2}-4}=1$ .

Πηγή:15η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα(την έχω αλλάξει λίγο).

Tolaso J Kos · #2

T-Rex έγραψε:Να βρεθούν οι τιμές του και άθροισμα όλων των τιμών του που ικανοποιούν την εξίσωση
$\left(x^{2}-6x+6 \right)^{x^{2}-4}=1$ .

Πηγή:15η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα(την έχω αλλάξει λίγο).

Θέτουμε $f(x)=x^2-6x+6, \; g(x)=x^2-4$ και θα διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\bullet$ Να είναι f(x)=1

. Τότε $x^2-6x+6=1 \Rightarrow x^2-6x+5 =0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ x=5 \end{matrix}\right.$ .

$\bullet$ Να είναι g(x)=0

και $f(x)\neq 0$ . Τότε $g(x) =0 \Rightarrow x^2-4 =0 \Rightarrow x =\pm 2$ και $f(x) \neq 0 \Rightarrow x\neq 3 \pm \sqrt{3}$ .

$\bullet$ Να είναι f(x)=-1

και

άρτια. Τότε $x^2-6x+6=-1 \Rightarrow x =3\pm \sqrt{2}$ .
Βάζουμε τις τιμές αυτές πάνω στη

για να δούμε ποια τη κάνει άρτια, δηλ. ποια τιμή δίδει άρτιο αριθμό.
Τότε:

$\displaystyle{g\left ( 3+\sqrt{2} \right )=\left ( 3+\sqrt{2} \right )^2-4=7+6\sqrt{2}}$ το οποίο δεν είναι άρτιος.
$\displaystyle{g\left ( 3-\sqrt{2} \right )=\left ( 3-\sqrt{2} \right )^2-4=7-6\sqrt{2}}$ το οποίο πάλι δεν είναι άρτιος.

Συνεπώς οι λύσεις είναι $x=-2,\;x=1, \; x=2, x=5$ .
Η τελευταία περίπτωση είναι προφανώς αδύνατη.

Με επιφύλαξη καθώς τέτοιες εξισώσεις έχω να λύσω χρόνια. Πάντως νομίζω πως ο φάκελος της Β' Λυκείου είναι πιο κατάλληλος.

Kostas Tzimoulias · #3

Πράγματι οι εκθετικές είναι κομμάτι ύλης της Β λυκείου.

Ηλιας Φραγκάκος · #4

[

T-Rex έγραψε:Να βρεθούν οι τιμές του και άθροισμα όλων των τιμών του που ικανοποιούν την εξίσωση
$\left(x^{2}-6x+6 \right)^{x^{2}-4}=1$ .

Πηγή:15η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα(την έχω αλλάξει λίγο).

Εγώ παιδιά έλυσα την άσκηση και δεν ξέρω καν τι είναι οι εκθετικές εξισώσεις
Σκέφτηκα ότι:
Οι μόνες πιθανότητες να φέρνει αποτέλεσμα

είναι:
1. Ο εκθέτης να κάνει 0
2.Η βάση να κάνει 1
Μετά πολύ απλά παραγοντοποιούμε τον εκθέτη σε (x+2)(x-2)

και για να κάνει 0 πρέπει να είναι x=2

ή

Έπειτα, μετατρέπω το $x^{2}-6x+6=1$ σε $x^{2}-6x+5=0$ και κάνω κανονικά Διακρίνουσα
Βρήκα τις ίδιες απαντήσεις: (2,-2,5,1)

Κανω κανένα λάθος;
Edit:Το ξανάκοίταξα, και απ' ό,τι κατάλαβα, ουσιαστικά εφάρμοσα εκθετικές εξισώσεις εν αγνοία μου νομίζοντας ότι ήταν κοινή λογική. Πάντως πιστεύω ότι η άσκηση δεν πρέπει να αλλάξει φάκελο γιατί ένας μαθητής που είναι αρκετά εξοικειωμένος με τα μαθηματικά θα μπορούσε να την λύσει .

Kostas Tzimoulias · #5

οχι απολύτως κανένα, το θέμα είναι απλά ότι εσύ ουσιαστικά δε βασίστηκες σε αυστηρή και τεκμιριωμένη αποδεικτική μέθοδο ( προσωπικά σα μαθητής στη συγκεκριμένη περίπτωση το βρίσκω σωστό), απλά ουσιαστικά βάσει της εμπειρίας σου έβγαλες κάποια συμπεράσματα και ισχυρίστηκες αυτά που έγραψες, δυστυχώς όμως λόγω της απλότητας της εξίσωσης μπορούσες να κάνεις τους ισχυρισμούς αυτούς άμα το δεύτερο μέλος είχε μια πολυπλοκότερη σχέση ή ακόμα και άγνωστο τότε θα χρειαζόσουν γνώσεις της Β' και Γ' λυκείου. πάντως Μπράβο για τη σκέψη σου

Δεν είδα το edit συγγνώμη

Λάμπρος Μπαλός · #6

Χαρακτηριστικό θέμα της Β Λυκείου, αν και αποφεύγεται γενικά.
Όχι Γυμνάσιο σε καμία περίπτωση.
Μήπως στα θέματα διαγωνισμών;

Kostas Tzimoulias · #7

Είναι θέμα Πανκύπριας ολυμπιάδας..

Το x και οι τιμές του.

Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Re: Το x και οι τιμές του.

Μέλη σε σύνδεση